運動定律與萬有引力

本關重點

• 克卜勒三大定律：軌道是橢圓、等面積、T² ∝ a³（同一中心天體）；它們是從觀測數據歸納出來的規律。
• 牛頓三大運動定律：慣性、力改變運動狀態、作用力與反作用力；必修以「說明定律」為主，重點在判斷方向與比例。
• 作用力與反作用力：大小相等、方向相反、作用在不同物體上，所以不會互相抵消。
• 摩擦力、正向力、彈力都是接觸力；體重計量的是正向力，不是重力本身。
• 萬有引力與距離平方成反比；牛頓用萬有引力加上運動定律，解釋了克卜勒定律。
• v–t 圖：斜率是加速度，圖下面積是位移。

核心觀念

一、克卜勒：從數據中找出規律

16 世紀末，第谷（Tycho Brahe）累積了大量精確的行星位置觀測。克卜勒（Johannes Kepler）花了多年分析這些數據，歸納出三條定律：

1. 橢圓軌道定律：行星繞太陽的軌道是橢圓，太陽位在橢圓的一個焦點上。
2. 等面積定律：行星與太陽的連線，在相同時間內掃過相同面積。所以行星離太陽近時跑得快、遠時跑得慢。
3. 週期定律：繞同一中心天體的行星，公轉週期 T 的平方與軌道平均半徑 a 的立方成正比：T² ∝ a³。

第三定律最常考比例運算。若以地球為基準（a 用天文單位 AU、T 用年），T² = a³。例如木星 a ≈ 5.20 AU，5.20³ ≈ 140.6，開根號 T ≈ 11.9 年，與實際的 11.86 年相符。

注意：克卜勒定律是歸納出的「描述」，它告訴我們行星怎麼動，但沒有解釋為什麼。解釋要等到牛頓。

二、牛頓三大運動定律

第一定律（慣性定律）：物體不受外力或所受合力為零時，靜者恆靜、動者恆做等速直線運動。亞里斯多德認為物體要持續受力才會動，伽利略與牛頓指出：維持運動不需要力，改變運動才需要力。

第二定律：物體所受合力不為零時，會產生加速度，加速度方向與合力方向相同；同樣的力作用在質量愈大的物體上，加速度愈小。必修只要求用這個關係做方向與比例的判斷，不做公式推導與計算。

第三定律（作用與反作用定律）：A 對 B 施力時，B 同時對 A 施一個大小相等、方向相反的力。關鍵字是「兩個物體之間」。

分辨「作用與反作用」和「平衡力」：

三、生活中的力：摩擦力、正向力、彈力

• 正向力（normal force）：接觸面垂直推回物體的力。體重計顯示的就是秤面對你的正向力。
• 摩擦力（friction）：接觸面之間阻礙相對滑動的力。走路、起跑時，腳向後推地，地面給腳向前的摩擦力，人才能前進。
• 彈力（elastic force）：物體被拉長或壓縮後想恢復原狀的力。在彈性限度內，彈簧伸長量與所受拉力成正比（國中學過的虎克定律）。

必修不談摩擦係數的數值，只要能判斷力的方向與成因。

四、v–t 圖：讀出加速度與位移

速度–時間圖是學測很愛用的工具：

• 斜率 = 加速度：直線愈陡，加速度愈大；斜率為負代表加速度與正方向相反。
• 圖下面積 = 位移：分成三角形與長方形計算。
• 速度為正值時，物體就是朝正方向運動；速度變小不等於反向。

把 v–t 圖和牛頓定律接起來：以電梯上升為例（向上為正）

五、萬有引力：同一條定律管天也管地

牛頓提出：任兩個物體之間都有互相吸引的萬有引力，大小與兩者質量的乘積成正比，與距離平方成反比。

平方反比的意思是：距離變 2 倍，力變 1/4；距離變 10 倍，力變 1/100。要注意「距離」指的是兩物體中心之間的距離。例如國際太空站離地表約 400 km，但離地心約 6771 km，重力仍約為地表的 89%。太空人飄浮不是因為沒有重力，而是太空人與太空站一起只受重力、一起「落向」地球（同時有很大的水平速度，所以繞著地球轉）。

牛頓把萬有引力和運動定律結合，可以解釋克卜勒的三條定律；蘋果落地與月球繞地球，是同一種力造成的。這是物理學第一次把「天上」與「地上」統一起來。

素養怎麼考

1. v–t 圖結合受力：電梯、起重機、汽車煞車的 v–t 圖，問哪段時間正向力最大、位移多少、加速度多大。
2. 作用力與反作用力的辨識：起跑、划船、火箭、拔河等情境，要你指出施力者與受力者。
3. 克卜勒第三定律的比例運算：給行星或系外行星、人造衛星的數據表，推算週期或軌道半徑。
4. 萬有引力平方反比：太空站、月球、不同高度衛星的重力比較，並破除「太空沒有重力」的迷思。
5. 實驗設計：驗證彈力與伸長量、摩擦力與接觸面的關係，問變因控制是否恰當。

真題考法對照

• 115 學年度學測第 10 題：汽車的 v–t 圖，比較加速段與減速段的加速度、位移，並以動能變化求阻力作功。
• 115 學年度學測第 11–12 題：起重機把重物分三段（加速、等速、減速）拉高，判斷各段合力、速度、位移的方向，以及位能與動能的變化。本關電梯題組是同一類型。
• 113 學年度學測第 26–27 題：先從安全氣囊「充氣壓力–時間」圖讀出達到保護所需的時間，再結合速度變化估算駕駛人受到的力；數據與關係式都由題目提供。
• 111 學年度學測第 3 題：給地球與火星的半徑比、質量比，用萬有引力平方反比求表面重力比。

解題技巧

• 畫受力圖：先圈出「研究對象」，只畫作用在它身上的力，標出施力者。
• 找反作用力的口訣：把「A 對 B」改成「B 對 A」，力的種類不變。
• 加速度方向決定合力方向，與運動方向無關：先從 v–t 圖判斷速度在變大還是變小。
• v–t 面積分段算：三角形 ½ × 底 × 高，長方形 底 × 高，最後相加。
• 比例題用「倍數」思考：T² ∝ a³ 時，a 變 4 倍，T² 變 64 倍，T 變 8 倍；不必代入常數。
• 平方反比先算距離比：用到中心的距離，再平方、再倒數。

常見陷阱

• 把「人受的重力」和「地面給的正向力」當成作用與反作用——它們作用在同一個人身上，是平衡力。
• 以為加速前進是因為「我推地的力小於地推我的力」——作用與反作用永遠一樣大。
• 以為運動中的物體一定受到向運動方向的力（衝力迷思）。
• v–t 圖速度變小，就以為物體開始往回走。
• 萬有引力的距離用「離地高度」而不是「到地心距離」。
• T² ∝ a³ 算出 T² 後忘記開根號。

BOSS 戰

延伸閱讀與資料來源

• NASA NSSDCA Planetary Fact Sheet（NASA 資料，公有領域；行星軌道半徑與週期）
• JPL Small-Body Database：1 Ceres（NASA/JPL 資料，公有領域）
• NASA：Space Station Facts and Figures（NASA 資料，公有領域）
• 維基百科：台北101（CC BY-SA 4.0；本站僅摘要電梯速度與時間等事實，題組 v–t 圖為本站簡化模型）
• 十二年國教課綱 自然科學領域（政府公開課綱文件；PEb、PKb 學習內容）