波動、光與量子

本關重點

• 波速 v = fλ；波從一種介質進入另一種介質時，頻率不變，波速與波長一起改變。
• 都卜勒效應（Doppler effect）只考定性：波源與觀察者接近時，接收到的頻率變高；遠離時變低。
• 折射是因為波速改變；波由快區進入慢區時，前進方向偏向法線。司乃耳定律可用作圖與比例判斷。
• 干涉與繞射是波動的招牌現象；楊氏雙狹縫實驗讓波動說占上風。
• 光子能量 E = hν，與頻率成正比；光電效應能否發生只與光的頻率有關、與強度無關。
• 原子只能吸收或放出特定能量的光子，形成線狀光譜，代表能階是不連續的；電子雙狹縫顯示電子也有波動性，光和電子都具有波粒二象性。

核心觀念

一、波的基本量與 v = fλ

波是「振動」的傳遞，傳過去的是能量，介質本身只在原地來回振動。描述波有三個量：頻率 f（每秒振動幾次，單位 Hz）、波長 λ（相鄰兩波峰的距離）、波速 v。三者的關係是 v = fλ。

波進入另一種介質時，頻率由波源決定，所以不變；介質決定波速，波速改變，波長就跟著等比例改變。例如水波從深水區進入淺水區，波速變慢，波長變短，但起波器每秒拍幾下並沒有變。

二、都卜勒效應（定性）

救護車開過身邊時，警笛先尖後沉。原因是波源往前移動時，前方的波前被「擠」得比較密，觀察者每秒接收到的波峰變多，聽到的頻率變高；後方則被拉疏，頻率變低。要注意：警笛本身發出的頻率沒有變，變的是接收到的頻率；也跟聲音大小無關。都卜勒效應也用在測速照相（雷達波）、氣象雷達、醫學超音波看血流，以及天文學用星光頻率的週期變化找系外行星。學測只考定性，不考都卜勒公式。

三、反射與折射

• 反射定律：入射角等於反射角，角度都從法線量起。
• 折射：波斜斜進入另一介質時，因為波速改變而轉彎。由惠更斯原理（Huygens’ principle，波前上每一點都可看成新的小波源）作圖可得：

sin θ₁ ／ sin θ₂ ＝ v₁ ／ v₂ ＝ λ₁ ／ λ₂

由快區進入慢區，θ₂ 比 θ₁ 小，前進方向偏向法線；反之偏離法線。學測可以考作圖與比例判斷，需要用到 sin 值時題目會給。

四、光是粒子還是波？

17 世紀起，牛頓（Isaac Newton）支持微粒說，惠更斯支持波動說。兩派對折射的解釋不同：微粒說預測光在水中比在空氣中快，波動說預測比較慢。1801 年楊氏（Thomas Young）的雙狹縫實驗做出明暗相間的干涉條紋，1850 年傅科（Léon Foucault）測得光在水中確實比較慢，波動說大獲全勝。後來馬克士威指出光是電磁波（上一關）。

干涉：兩列波相遇時，波峰遇波峰互相加強（建設性干涉，亮紋），波峰遇波谷互相抵消（破壞性干涉，暗紋）。肥皂泡、油膜上的彩色條紋，就是薄膜前後兩面的反射光互相干涉造成的。 繞射：波通過狹縫或障礙物邊緣時會散開，進入「幾何陰影」區。縫寬和波長越接近，繞射越明顯。

五、光子與光電效應

故事還沒結束。19 世紀末，科學家發現光照在金屬上能打出電子，稱為光電效應（photoelectric effect），但有一個現象波動說解釋不了：紅光再強也打不出電子，紫外線很弱卻立刻打得出來。1905 年愛因斯坦（Albert Einstein）提出光是由一份一份的光子（photon）組成，每個光子的能量

E = hν（h 是普朗克常數，ν 是頻率）

一個電子一次吸收一個光子，光子能量夠才能把電子打出來。所以能不能打出電子看頻率（每個光子的能量），強度只代表光子數目多寡。這就是課綱強調的「光電子的產生只與頻率有關，與強度無關」。應用：自動門感測器、太陽能電池、數位相機感光元件。光電方程式的定量計算屬選修，學測不考。

六、原子光譜與能階

把氫氣通電發光，再用光柵分光，看到的不是一整條彩虹，而是幾條特定顏色的亮線（線狀光譜）。這表示原子內電子的能量只能是某些特定值，稱為能階（energy level）。電子從高能階跳到低能階時，放出一個光子，光子能量等於兩能階的能量差；反過來，吸收能量剛好的光子才能往上跳。每種元素的能階不同，光譜就像「指紋」，天文學家靠它分析遠方恆星的成分。波長越短，頻率越高，光子能量越大：上圖 410 nm 的紫光光子能量比 656 nm 的紅光大。

七、波粒二象性

如果讓電子一顆一顆通過雙狹縫，每顆電子在屏幕上只打出一個點，像粒子；但累積大量電子後，點的分布竟排成干涉條紋，像波。光也一樣：干涉繞射顯示波動性，光電效應顯示粒子性。這種「同時具有波與粒子性質」稱為波粒二象性（wave–particle duality）。這也說明在原子尺度，牛頓力學不再適用，需要量子力學描述。物質波波長的公式計算屬選修，學測不考。

素養怎麼考

• 實驗數據 + v = fλ：水波槽、繩波、聲波的表格，計算波速或波長，並判斷哪個量不變。
• 作圖與比例判斷折射：給入射角與兩區波長，用比例找折射角或判斷偏折方向。
• 都卜勒的圖形題：選出「接收頻率隨時間變化」的正確曲線（例如 115 學測系外行星題）。
• 科學史與科學本質：微粒說與波動說之爭、光電效應如何讓「光子」概念出現，考「一個實驗結果支持什麼、不能推論什麼」。
• 量子現象：光電效應看頻率不看強度、線狀光譜代表能階不連續、電子雙狹縫代表波動性；也會給能階圖，要你算能階差、配對譜線（E = hν 簡單代入）。

真題考法對照（用自己的話描述，不轉貼原題）

• 115 學年度學測第 13 題：恆星與行星繞共同中心轉動，選出地面測到的頻率隨時間變化的圖（都卜勒定性）。
• 115 學年度學測第 47–48 題：給汞原子能階圖（單位 eV），找出哪一組躍遷會放出題目指定能量的紫外光，再用 E = hc／λ 估算極紫外光光子能量的數量級。量子題不只考定性，也會要你讀能階圖、比對能量差，以及做 E = hν 的簡單代入。
• 114 學年度學測第 24–25 題：挑出能階敘述中錯誤的一項（電子待在某能階上不需要外界持續補充能量），並選出大量電子通過雙狹縫後的分布圖。
• 114 學年度學測第 50–51 題：光觸媒的能隙約 3.2 eV，光子能量要高於能隙才能啟動反應；加強光的強度不能取代提高頻率，並求可用光的最長波長。
• 112 學年度學測第 30–31 題：X 光晶體繞射估計波長數量級；原子、電子也能產生雙狹縫干涉。

解題技巧

1. 跨介質題先寫「f 不變」：再判斷 v 與 λ 是一起變大還是一起變小。
2. v = fλ 檢查單位：cm 與 m、kHz 與 Hz 要統一；算完看數量級是否合理（聲速約 340 m/s、光速 3 × 10⁸ m/s）。
3. 折射題畫法線：角度一律從法線量；波速慢的一側角度小。
4. 都卜勒只問「接近或遠離」：接近→頻率高，遠離→頻率低；跟音量、波源本身頻率無關。
5. 光電效應題把「強度」和「頻率」分開：強度＝光子數，頻率＝每個光子的能量。
6. 光譜題用 E = hν 和 c = λν 串起來：波長短 → 頻率高 → 光子能量大 → 能階差大。
7. 能階圖題先算能量差：把每個選項的兩能階相減，和題目給的光子能量比對；往低能階跳是放出光子，往高能階跳是吸收光子。

常見陷阱

• 以為波進入淺水或玻璃時頻率會改變。頻率由波源決定。
• 以為都卜勒效應是「聲音變大所以變尖」。
• 把「傅科實驗支持波動說」過度推論成「光只是波」。後來的光電效應又顯示光的粒子性。
• 以為光夠強就一定能產生光電效應。
• 以為原子光譜是連續的彩虹，或以為線狀光譜的亮線位置會隨燈泡亮度改變。

BOSS 戰

延伸閱讀與資料來源

• PhET 互動模擬：Wave Interference（水波、聲波、光的干涉與雙狹縫）（CC BY 4.0）
• PhET 互動模擬：Photoelectric Effect（CC BY 4.0）
• NIST Atomic Spectra Database（氫原子譜線波長）（NIST 標準參考資料，物理常數屬事實）
• Wikipedia：Fizeau–Foucault apparatus（CC BY-SA 4.0）
• Wikipedia：Double-slit experiment（CC BY-SA 4.0）
• 教育部 十二年國教課程綱要 自然科學領域（課綱文件，公開閱覽）