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2×2 表、敏感度與特異度

四個格子與四個邊際各自回答什麼問題、為什麼敏感度與特異度是檢驗的性質而不是族群的性質、SpPIN / SnNOUT 這組助記在什麼時候會騙人，以及診斷研究最常見的偏誤——只有檢驗陽性的人去做 gold standard 時，敏感度與特異度會同時往相反方向跑。

這一頁在解決什麼問題

臨床上大部分的檢驗最後都會被壓成一個二元判斷：這個結果算陽性還是陰性。抽血值過了某個門檻、影像被判讀成有或沒有、快篩出現第二條線。

問題是，「這個檢驗準不準」這句話沒有單一答案。它至少要拆成四個不同的問題，而這四個問題的答案在同一份資料上可以差非常多：

有病的人裡，檢驗抓到幾成？
沒病的人裡，檢驗放行幾成？
檢驗說陽性的人裡，真的有病的佔幾成？
檢驗說陰性的人裡，真的沒病的佔幾成？

前兩個問題的答案是檢驗的性質，後兩個不是。 這一頁處理前兩個（敏感度與特異度），後兩個在預測值與盛行率。把這件事分清楚，是診斷準確度整個家族的地基。

四個格子與四個邊際

把「檢驗結果」與「參考標準（reference standard，也就是 gold standard）說的真相」交叉，就是 2×2 表：

	真的有病	真的沒病	合計
檢驗陽性	真陽性 TP	偽陽性 FP	所有陽性者
檢驗陰性	偽陰性 FN	真陰性 TN	所有陰性者
合計	所有病人	所有非病人	總人數

四個格子加起來是總人數。真正要記的是除的時候是往哪個方向除：

\text{Sensitivity} = \frac{TP}{TP + FN}, \qquad \text{Specificity} = \frac{TN}{TN + FP}

\text{PPV} = \frac{TP}{TP + FP}, \qquad \text{NPV} = \frac{TN}{TN + FN}

敏感度與特異度是沿著直行除（分母是疾病狀態的人數），預測值是沿著橫列除（分母是檢驗結果的人數）。

這一頁的例子

pROC::aSAH 是 113 位蜘蛛膜下腔出血（subarachnoid haemorrhage, SAH）病人的資料，記錄了兩個生物標記與六個月後的神經學結果。把結果二分成好（Good）與差（Poor）： 41 人結果差、72 人結果好，也就是這個世代的盛行率是 36.3%。

這一頁用 S100β（一種星狀膠細胞的蛋白質，腦損傷時會上升）當作檢驗，切點訂在 0.20 µg/L。

點圖，橫軸是 S100β 濃度取對數，上排是結果好的病人、下排是結果差的病人，虛線標出切點；四個象限分別標示 TN、FP、FN、TP 的人數。 — 每一個點是一位病人。垂直虛線就是切點，它把每一排各切成兩塊，於是產生 2×2 表的四個格子。移動這條線，四個數字全部一起動——這正是 ROC 曲線在畫的東西。產圖腳本 `figures/scripts/B4-01-sens-spec.R`

	結果差（有病）	結果好（沒病）	合計
S100β ≥ 0.20	TP = 26	FP = 14	40
S100β < 0.20	FN = 15	TN = 58	73
合計	41	72	113

四個指標與它們的 95% 信賴區間（比例的區間用 Wilson score interval，它在接近 0 或 1 時不會跑出 [0, 1] 之外）：

指標	算式	估計值	95% CI
敏感度 Sensitivity	26 / 41	63.4%	48.1–76.4%
特異度 Specificity	58 / 72	80.6%	70.0–88.0%
陽性預測值 PPV	26 / 40	65.0%	49.5–77.9%
陰性預測值 NPV	58 / 73	79.5%	68.8–87.1%

信賴區間值得多看一眼：敏感度的區間是 48.1–76.4%，寬達 28.3 個百分點。診斷準確度研究的樣本數常常不足，因為它的有效樣本數是「有病的人數」與「沒病的人數」分開算的，而不是總人數；這裡的敏感度只由 41 個人決定。看到一篇診斷研究報 sensitivity 而不報區間，先假設它很寬。

動手跑一次

library(pROC)
data(aSAH, package = "pROC")

cut <- 0.20                       # 先訂好的切點，不是挑出來的
pos <- aSAH$s100b >= cut
dis <- aSAH$outcome == "Poor"

tab <- table(factor(pos, c(TRUE, FALSE)), factor(dis, c(TRUE, FALSE)))
tab                                # 左上角就是 TP

tp <- tab[1, 1]; fp <- tab[1, 2]; fn <- tab[2, 1]; tn <- tab[2, 2]
sens <- tp / (tp + fn)
spec <- tn / (tn + fp)
c(sensitivity = sens, specificity = spec,
  ppv = tp / (tp + fp), npv = tn / (tn + fn))

# 比例的信賴區間：Wilson，不要用 sens ± 1.96*SE（在接近 0/1 時會出界）
prop.test(tp, tp + fn, correct = FALSE)$conf.int
binom.test(tp, tp + fn)$conf.int   # Clopper-Pearson，保守但永遠涵蓋

# 匯出給 Python 用
write.csv(aSAH, "aSAH.csv", row.names = FALSE)

驗證環境：R 4.6.0 + pROC 1.19.0.1。aSAH 隨 pROC 一起安裝，不需要另外下載。

import pandas as pd
from sklearn.metrics import confusion_matrix
from statsmodels.stats.proportion import proportion_confint

d = pd.read_csv("aSAH.csv")          # 由上面那行 R 產生
pos = d["s100b"] >= 0.20
dis = d["outcome"] == "Poor"

# sklearn 的順序是 [[TN, FP], [FN, TP]]，跟臨床課本的擺法相反
tn, fp, fn, tp = confusion_matrix(dis, pos).ravel()

sens = tp / (tp + fn)
spec = tn / (tn + fp)
print(sens, spec, tp / (tp + fp), tn / (tn + fn))

print(proportion_confint(tp, tp + fn, method="wilson"))
print(proportion_confint(tn, tn + fp, method="wilson"))

aSAH 沒有掛在 Rdatasets 上，所以 Python 這一欄從 R 匯出的 CSV 開始。sklearn 的 confusion_matrix 預設順序是 [[TN, FP], [FN, TP]]，與臨床習慣的擺法上下顛倒。

敏感度與特異度不隨盛行率變——這句話的意思是什麼

課本說敏感度與特異度是「檢驗的性質」。要看清楚這句話，最乾脆的辦法是改變病人組成再算一次。

下面三個世代都是從同一批 113 位病人來的，做法是把某一類的人整批複製（不是隨機抽樣——複製才能讓數字完全乾淨，不受抽樣變異干擾）：

病例 : 對照的複製比	總人數	盛行率	敏感度	特異度	PPV	NPV
1:4	329	12.5%	63.4%	80.6%	31.7%	93.9%
1:1	113	36.3%	63.4%	80.6%	65.0%	79.5%
4:1	236	69.5%	63.4%	80.6%	88.1%	49.2%

盛行率從 12.5% 走到 69.5%，敏感度與特異度一格都沒動，而 PPV 從 31.7% 跳到 88.1%。

SpPIN 與 SnNOUT，以及它們什麼時候會騙人

臨床上流傳的助記是：

SpPIN：Sp（specificity）高的檢驗，Positive 結果可以rule IN（確立診斷）
SnNOUT：Sn（sensitivity）高的檢驗，Negative 結果可以rule OUT（排除診斷）

道理是對的：特異度高表示沒病的人幾乎不會被判成陽性，所以真的出現陽性，多半不是誤判。把同一個標記換三個切點，就能看到這組助記的兩端：

切點（µg/L）	敏感度（95% CI）	特異度（95% CI）	TP / FP / FN / TN	LR+	LR−
0.05	97.6%（87.4–99.6）	6.9%（3.0–15.2）	40 / 67 / 1 / 5	1.05	0.35
0.20	63.4%（48.1–76.4）	80.6%（70.0–88.0）	26 / 14 / 15 / 58	3.26	0.45
0.60	22.0%（12.0–36.7）	100.0%（94.9–100.0）	9 / 0 / 32 / 72	無法估計	0.78

最低的那個切點敏感度 97.6%，看起來是漂亮的 SnNOUT；最高的那個切點特異度 100.0%（偽陽性一個都沒有），看起來是完美的 SpPIN。兩個都有問題：

SnNOUT 的問題：高敏感度不等於陰性結果有用。

切點 0.05 的敏感度是 97.6%，但特異度只有 6.9%——結果好的 72 人裡有 67 位同樣被判成陽性。這個檢驗幾乎不會漏掉病人，因為它幾乎不放過任何人。真正衡量「陰性結果有多少價值」的量是 LR−，這裡是 0.351，只把疾病的勝算降到約三分之一，並不是「排除」。

SpPIN 的問題：一個偽陽性都沒有，不代表特異度真的是 1。

切點 0.60 的特異度點估計是 100.0%，但 95% 信賴區間的下界是 94.9%——72 個沒病的人裡零個偽陽性，對應的偽陽性率上限約為 5.1%。信賴區間講的是與這份資料相容的範圍，不是保證——真值仍可能落在區間之外。而且此時 LR+ 無法估計（分母是 0），敏感度掉到 22.0%：這個切點下大部分病人會被判成陰性。

結論不是丟掉這組助記，而是把它降級成方向感。 要真的算「這個結果讓我對診斷改變多少想法」，用概似比，它同時吃進敏感度與特異度，而且可以直接乘上檢驗前勝算。

驗證性偏誤：診斷研究最常見的坑

到目前為止，本頁預設每一位病人都做了參考標準。真實的診斷研究常常不是這樣：參考標準往往是侵入性的、貴的、或有風險的（切片、血管攝影、開刀、長期追蹤），於是實務上只有檢驗陽性的人會被送去做，陰性的人就回家了。

這叫部分驗證偏誤（partial verification bias），也叫 work-up bias。後果不是「數字有點抖」，是方向固定的系統性偏誤：

把本頁的資料當成完整驗證的真相，然後假設只有一部分檢驗陰性者被送去做參考標準，剩下的人從分析中消失：

檢驗陰性者被驗證的比例	進入分析的人數	算出來的敏感度	算出來的特異度
100%	113	63.4%	80.6%
70%	91	71.2%	74.4%
50%	77	77.6%	67.4%
30%	62	85.2%	55.4%
10%	47	94.5%	29.3%

折線圖，橫軸是檢驗陰性者接受參考標準的比例（由左往右遞減，左端是完整驗證），縱軸是算出來的敏感度與特異度；隨著驗證比例下降，敏感度往上跑、特異度往下掉，兩條虛線是真值。 — 部分驗證偏誤的方向是固定的：檢驗陰性的人愈少被驗證，敏感度愈被高估、特異度愈被低估。橫軸左端是完整驗證（也就是真值）。產圖腳本 `figures/scripts/B4-01-sens-spec.R`

方向可以用算式看出來，不必背：偽陰性（FN）只出現在檢驗陰性的人裡，所以少驗證陰性者 = 少發現 FN = 敏感度的分母縮水 → 敏感度被高估；真陰性（TN）同樣只出現在陰性者裡，少驗證 = 少發現 TN，而偽陽性（FP）一個不漏地全在 → 特異度被低估。

當陰性者只有 10% 被驗證時，敏感度從真值 63.4% 被推到 94.5%，特異度從 80.6% 掉到 29.3%。一篇報告「敏感度超過九成」的診斷研究，如果沒交代陰性者怎麼被驗證，這個數字本身不能拿來用。

讀論文時的三個具體檢查點：

參考標準是什麼，所有人都做了嗎？ STARD 2015 的流程圖就是要求作者畫出這件事——多少人接受了指標檢驗、多少人接受了參考標準、兩者的差額去了哪裡。
不同的人做了不同的參考標準嗎？ 陽性者做切片、陰性者靠三個月追蹤，這叫差異驗證偏誤（differential verification bias），兩種標準定義的「疾病」其實不是同一件事。
判讀參考標準的人知道指標檢驗的結果嗎？ 知道的話兩者不獨立，一致性會被人工推高。

補救的統計方法是有的（在可以合理假設「是否被驗證只取決於觀察得到的變項」時，用反機率加權回推），但它需要研究者記錄了誰沒被驗證。設計階段沒留下這個資訊，事後補不回來。

常見誤用

誤用	為什麼錯
把敏感度與 PPV 講成同一件事	一個沿著疾病狀態的行除、一個沿著檢驗結果的列除，分母完全不同
報敏感度不報信賴區間	有效樣本數是有病者人數，通常遠小於總人數，區間往往很寬
在特異度接近 1、偽陽性為 0 時宣稱「完全不會誤判」	零偽陽性只保證上界，區間下界仍可能明顯低於 1；此時 LR+ 也無法估計
只憑高敏感度就說陰性可以排除診斷	要看的是 LR−；敏感度高但特異度極低時 LR− 仍可能接近 1
把文獻的敏感度直接套到自己的病人身上	病情組成不同會改變測到的敏感度（光譜效應），這是要檢查的假設
只驗證檢驗陽性者卻照常報敏感度與特異度	部分驗證偏誤會同時高估敏感度、低估特異度
陽性與陰性用不同的參考標準卻合併分析	差異驗證偏誤，兩種標準定義的疾病不是同一件事
用整體正確率（accuracy）當主要指標	在盛行率低時，全部判陰性就能得到很高的正確率
自己從資料挑一個最好看的切點再報它的敏感度	樂觀偏誤，見切點選擇與兩條 ROC 的比較
把連續的檢驗值二分之後就不提切點	沒有切點，敏感度與特異度沒有定義

重跑本頁的所有數字

/opt/homebrew/bin/Rscript figures/scripts/B4-01-sens-spec.R

讀讀看這張圖

答案取自產生本頁圖表的同一份統計輸出，不是另外打上去的。

113 位病人裡有 41 位結果差。在切點 0.20 上，敏感度是 0.634、特異度是 0.806。一位讀者說「所以來做這個檢驗的人有六成三會被正確判讀」。哪一個說法對？

看答案與解析

正確答案: 不對。整批人被正確判讀的比例是 0.743，敏感度的分母只有結果差的那 41 位

敏感度的分母是那 41 位結果差的病人，不是 113 位受檢者——它沿著直行除。整批人被正確判讀的比例是 0.743，比 0.634 高，因為特異度那一側的人比較多、也被判得比較準。0.650 則是陽性預測值，沿著橫列除，回答的是「一張陽性報告代表什麼」，不是「有多少人被判對」。三個數字都在同一張表上，差別只在分母算誰；把敏感度讀成整體正確率，等於把一個沿著直行除的量當成整張表的摘要。

把同一批人的對照組整批複製，世代盛行率從 36.3% 降到 12.5%，四個指標再算一次。這張表在示範什麼？

看答案與解析

正確答案: 盛行率最低那一列的 PPV 掉到 0.317，而敏感度與特異度一格都沒動

複製對照組只改變了兩群人的相對大小，沒有改變任何一個人的檢驗結果。敏感度在病例那一群裡算、特異度在非病例那一群裡算，所以整張表上它們一格都沒動；PPV 與 NPV 的分母是檢驗陽性者與檢驗陰性者，混了兩群人，於是跟著比例移動——0.317 與 0.881 是同一個檢驗在兩個世代的 PPV。至於 0.939 這個 NPV，高是因為那個世代大多數人本來就沒病，不是因為檢驗變強了：不做檢驗、看到誰都說沒病，正確率也差不多。

切點 0.60 那一列，72 位結果好的病人裡一個偽陽性都沒有，特異度的點估計是 1.000。可以說這個切點不會誤判沒病的人嗎？

看答案與解析

正確答案: 不能。95% 信賴區間的下界是 0.949，與這份資料相容的偽陽性率仍可到五個百分點左右

零個偽陽性只是把點估計頂到上界，它不保證真值就在那裡：72 個人裡零個事件，對應的下界是 0.949，也就是與這份資料相容的偽陽性率最高仍有五個百分點左右。而且這個切點的代價並不小——敏感度只剩 0.220，多數結果差的病人會被判成陰性；同時 LR+ 的分母是零，根本估不出來。把「這份樣本沒看到誤判」讀成「這個檢驗不會誤判」，是把區間讀成保證。

切點 0.05 的敏感度是 0.976，看起來是漂亮的 SnNOUT。這個切點的陰性結果真的能排除疾病嗎？

看答案與解析

正確答案: 不能。同一列的特異度只有 0.069，這個切點幾乎把所有人都判成陽性，陰性之所以少見，是因為它幾乎不放過任何人

SnNOUT 的成立條件不是敏感度單獨高，而是陰性結果本身帶有訊息。這個切點的特異度只有 0.069，也就是結果好的人裡九成以上同樣被判成陽性——敏感度 0.976 是靠「幾乎不放過任何人」換來的。衡量陰性結果價值的量是 LR−，這裡是 0.351：它把疾病的勝算降到大約三分之一，是有用的一步，但離排除還很遠。要把陰性當成排除，通常要求 LR− 再小一個數量級。

一份診斷研究只把部分檢驗陰性者送去做參考標準。用本頁的模擬，當陰性者只有一成被驗證時，算出來的敏感度是 0.945、真值是 0.634。特異度會往哪個方向跑？

看答案與解析

正確答案: 特異度掉到 0.293——少驗證陰性者會少發現真陰性，而偽陽性一個都不會漏掉

偽陰性只出現在檢驗陰性的人裡，少驗證陰性者等於少發現偽陰性，敏感度的分母縮水，於是被高估到 0.945。真陰性同樣只出現在陰性者裡，跟著一起消失；而偽陽性全在陽性那一側，一個都不會漏掉——特異度的分子縮水、分母裡的偽陽性不動，於是被低估到 0.293。兩個指標往相反方向跑，這是固定的方向，不是隨機的抖動。0.806 是完整驗證時的特異度真值，0.776 則是另一個驗證比例下的敏感度，不是特異度。所以一篇沒交代陰性者怎麼被驗證的診斷研究，它報的敏感度不能照面值用。

敏感度是 0.634，95% 信賴區間 0.481 到 0.764，比同一張表上特異度的區間明顯寬。為什麼？

看答案與解析

正確答案: 因為敏感度只由 41 位結果差的病人決定，而特異度的分母是另外那 72 位結果好的人

診斷準確度研究的有效樣本數要分兩邊算：敏感度的分母是 41 人，特異度的分母是 72 人，兩個區間的寬度各自由這兩個數字決定，而不是由 113 這個總人數決定。40 是檢驗陽性的人數，它是 PPV 的分母，不是敏感度的。所以看到一篇診斷研究只報總收案數、不分開報兩群的人數，先假設敏感度那一側的區間很寬。

用到這個方法的章節

診斷準確度研究

延伸觀看

ENGlobal Health with Greg Martin· 3 min三分鐘建立 2×2 的心像。讀第二節之前先看這支，後面的定義會變成「本來就該這樣」。

ENClinical Information Sciences· 2 min一分四十秒，把概念變成會算的動作，補上前一支只講概念沒算數的缺口。

繁中EDMAN MURMURS· 9 min繁中、臨床醫師視角，術語的中文說法在這裡有對照。

ENStatQuest with Josh Starmer· 12 min同一組定義從機器學習的角度講一次，之後讀 recall / precision 的文獻不會卡住。

繁中臺大開放式課程 NTU OCW· 60 min繁中完整課程。本頁最後一節談的驗證性偏誤，在這裡有更完整的流行病學脈絡。

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