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概似比與 Fagan nomogram

LR 把一個檢驗結果變成「檢驗前勝算要乘上多少」，因此它不隨盛行率改變，卻又能直接算出這位病人的檢驗後機率。這一頁講 LR+ 與 LR− 怎麼來、Fagan nomogram 怎麼看、為什麼多階層 LR 比二分好用——以及在這份資料上，最低兩段的 LR 分不開，這份資料不足以分辨它們是否不同。

這個量在解決什麼問題

前兩頁留下一個實務上的僵局：

敏感度與特異度是檢驗的性質，可以從文獻搬過來用，但它們回答的是「有病的人會怎樣」，不是病人問的問題。
PPV 與 NPV 回答了病人的問題，但它們綁死在該研究的盛行率上，換一群病人就不能用。

概似比（likelihood ratio, LR）是把兩者接起來的那個量。它有兩個性質同時成立，而這在診斷準確度的家族裡是唯一的：

它由敏感度與特異度算出來，所以跟它們一樣不隨盛行率改變，可以從文獻搬過來。
它可以直接把「這位病人的檢驗前機率」換算成「檢驗後機率」，所以能回答病人的問題。

代價是要換一個尺度想事情：勝算（odds）而不是機率。

定義

\text{LR}^{+} = \frac{P(\text{陽性} \mid \text{有病})}{P(\text{陽性} \mid \text{沒病})} = \frac{\text{sens}}{1 - \text{spec}}

\text{LR}^{-} = \frac{P(\text{陰性} \mid \text{有病})}{P(\text{陰性} \mid \text{沒病})} = \frac{1 - \text{sens}}{\text{spec}}

分子是「有病的人出現這個結果的機率」，分母是「沒病的人出現同一個結果的機率」。所以 LR 讀作：看到這個結果，比較支持哪一邊，支持多少倍。

它的用法是一行乘法（Bayes 定理寫成勝算形式）：

\underbrace{\frac{P(D \mid \text{結果})}{P(\bar{D} \mid \text{結果})}}_{\text{檢驗後勝算}} = \underbrace{\frac{P(D)}{P(\bar{D})}}_{\text{檢驗前勝算}} \times \text{LR}

機率與勝算的互換是 $\text{odds} = p / (1-p)$ 與 $p = \text{odds} / (1 + \text{odds})$ 。整個流程是三步：機率換勝算 → 乘 LR → 勝算換回機率。

為什麼要繞到勝算這個尺度。

因為在機率的尺度上，Bayes 定理是一個帶著分母的分式（見預測值與盛行率），前後兩個機率沒有簡單的關係；換到勝算尺度就變成單純的乘法，而且不同的檢驗可以連續相乘（在各檢驗結果條件獨立的假設下）。

同一個轉換也是邏輯迴歸用 log-odds 當尺度的理由。兩者都在勝算尺度上做乘法，但不是同一個量：那裡的 $\exp(\beta)$ 是勝算比，只有在「以二元檢驗結果預測疾病」的未調整模型裡，它才等於診斷勝算比（diagnostic odds ratio），也就是 $\text{LR}^{+} / \text{LR}^{-}$ ；在這份資料上是 3.26 / 0.454 = 7.18。真正乘在檢驗前勝算上、把它變成檢驗後勝算的是 LR，不是 $\exp(\beta)$ ——把 $\exp(\beta)$ 直接丟進下面的 nomogram 會算錯。

這一頁的數字

沿用 pROC::aSAH 的 S100β，切點 0.20 µg/L：敏感度 63.4%、特異度 80.6%。

	算式	估計值	95% CI
LR+	63.4% / (1 − 80.6%)	3.26	1.93–5.51
LR−	(1 − 63.4%) / 80.6%	0.454	0.299–0.690

信賴區間用的是 Simel 的方法（在 log 尺度上算再取回來），因為 LR 是比值，它的抽樣分布在原尺度上是偏斜的。 LR 的區間要看它有沒有跨過 1：跨過 1 表示這個結果沒有明顯偏向任何一邊。這裡兩個區間都沒跨過 1。

Fagan nomogram

Fagan nomogram 是上面那三步乘法的圖形版：左邊軸找到檢驗前機率、中間軸找到 LR、把兩點連成一條直線並延長到右邊軸，交點就是檢驗後機率。

（它跟預測模型論文裡那種 nomogram 不是同一個東西：那一種是把一個已經配好的迴歸模型的線性預測值換算成分數，讀法是每條軸垂直往上讀分數、相加，不是拿尺連一條斜線。兩者的差別整理在nomogram 那一頁。）

Fagan nomogram，三條垂直軸：左為檢驗前機率、中為概似比、右為檢驗後機率；兩條直線分別代表陽性與陰性結果，從相同的檢驗前機率出發，分別落到較高與較低的檢驗後機率。 — 兩條線的起點相同（本研究世代的盛行率），差別只在中間軸上穿過的是 LR+ 還是 LR−。這張圖之所以能用一條直線完成 Bayes 計算，是因為三條軸都畫在對數勝算的尺度上。產圖腳本 `figures/scripts/B4-03-likelihood-ratio.R`

用本研究世代的盛行率 36.3% 當檢驗前機率：

檢驗前機率	陽性 → 檢驗後機率	陰性 → 檢驗後機率	陽性帶來的絕對變化
5.0%	14.7%	2.3%	＋9.7 個百分點
10.0%	26.6%	4.8%	＋16.6 個百分點
20.0%	44.9%	10.2%	＋24.9 個百分點
36.3%	65.0%	20.5%	＋28.7 個百分點
50.0%	76.5%	31.2%	＋26.5 個百分點
70.0%	88.4%	51.4%	＋18.4 個百分點

這張表有一個容易被忽略的規律：同一個 LR 在不同的檢驗前機率下，帶來的絕對變化不一樣，而且在中間最大。 檢驗前機率 5% 時陽性只推高 9.7 個百分點，36.3% 時推高 28.7 個百分點，到了 70% 又縮回 18.4 個百分點。

臨床推論很直接：對於已經幾乎確定有病、或幾乎確定沒病的病人，再多做一個中等強度的檢驗改變不了處置。 檢驗的價值集中在「不確定」的那一段，這也是決策曲線分析（decision curve analysis）那一整套方法要處理的問題。

LR 不隨盛行率改變——同樣用資料看

跟2×2 表那一頁一樣的做法：把病例或對照整批複製，改變世代的盛行率，再算一次。

病例 : 對照的複製比	盛行率	PPV	LR+	LR−
1:4	12.5%	31.7%	3.261	0.454
1:1	36.3%	65.0%	3.261	0.454
4:1	69.5%	88.1%	3.261	0.454

PPV 從 31.7% 走到 88.1%，LR 兩欄一位小數都沒動。這就是為什麼 meta-analysis 合併診斷準確度時，合併的對象是敏感度／特異度或 LR，而不是 PPV。

（但上一頁最後那個但書同樣適用：換到病情組成不同的族群，LR 也會跟著動，因為敏感度與特異度會動。「不隨盛行率變」指的是算式，不是保證跨場域通用。）

多階層 LR：不要把連續值壓成兩格

把一個連續的檢驗值二分成陽性／陰性，會丟掉資訊：S100β 剛好在切點上方一點點的人，跟高出十倍的人，被當成同一件事。

多階層 LR（multilevel likelihood ratio）的做法是切成幾段，每一段各自算自己的 LR：某一段的 LR = 有病者落在這段的比例 ÷ 沒病者落在這段的比例。

S100β（µg/L）	結果差的人數（佔比）	結果好的人數（佔比）	LR	95% CI	檢驗後機率
< 0.10	7（17.1%）	28（38.9%）	0.439	0.211–0.915	20.0%
0.10-0.19	8（19.5%）	30（41.7%）	0.468	0.237–0.924	21.1%
0.20-0.39	9（22.0%）	6（8.3%）	2.634	1.009–6.874	60.0%
>= 0.40	17（41.5%）	8（11.1%）	3.732	1.767–7.882	68.0%

最後一欄的檢驗後機率都從同一個檢驗前機率（36.3%）出發。落在最高一段的病人被推到 68.0%，落在最低一段的被拉到 20.0%——而二分法會把最低兩段的病人全部歸成同一個「陰性」，把最高兩段全部歸成同一個「陽性」。

曲線圖，橫軸是檢驗前機率、縱軸是檢驗後機率；四條實線分別對應四個 S100β 區間的 LR，兩條虛線是二分法的 LR+ 與 LR−，斜對角虛點線代表完全沒有資訊的檢驗。最低兩段的兩條曲線幾乎重疊。 — 離對角線愈遠，這個結果改變愈多。四條實線是四個區間、兩條虛線是二分法。最低兩段的曲線幾乎疊在一起，這是本頁下一段要談的事。產圖腳本 `figures/scripts/B4-03-likelihood-ratio.R`

但在這份資料上，最低兩段分不開。

教科書講到這裡通常會收在「所以多階層 LR 比二分好」。看一眼實際跑出來的數字：最低兩段的 LR 是 0.439（95% CI 0.211–0.915）與 0.468（0.237–0.924）——點估計相近，而兩段的信賴區間幾乎完全重疊。嚴格的說法是：這份資料不足以分辨這兩段的 LR 是否不同，而不是它們相同。 就這兩個點估計而言，拆成兩段算出來的檢驗後機率是 20.0% 對 21.1%。

真正有價值的分層發生在上半段：0.20-0.39 的 LR 是 2.634，>= 0.40 是 3.732，而二分法的 LR+ 3.26 落在兩者之間——二分法把「中度升高」與「大幅升高」平均掉了，這才是它丟掉的東西。

而且四段的 LR 信賴區間都很寬（1.009–6.874 那一段甚至幾乎碰到 1），因為每一段只有幾個人。切愈多層，每層的人愈少、每個 LR 愈不精確。

實務結論：分層要依臨床上有意義的界線來切，並且事先決定，不要為了讓表格好看而切；切完之後檢查相鄰兩層的 LR 是否真的分開，如果沒有就合併回去。分層的層數與界線如果是從資料挑出來的，同樣有樂觀偏誤的問題。

動手跑一次

library(pROC)
data(aSAH, package = "pROC")

pos <- aSAH$s100b >= 0.20
dis <- aSAH$outcome == "Poor"
tp <- sum(pos & dis); fp <- sum(pos & !dis)
fn <- sum(!pos & dis); tn <- sum(!pos & !dis)
sens <- tp / (tp + fn); spec <- tn / (tn + fp)

lr_pos <- sens / (1 - spec)
se     <- sqrt(1/tp - 1/(tp + fn) + 1/fp - 1/(fp + tn))   # Simel
exp(log(lr_pos) + c(0, -1.96, 1.96) * se)

# 三步走：機率 -> 勝算 -> 乘 LR -> 換回機率
post <- function(pre, lr) { o <- pre / (1 - pre) * lr; o / (1 + o) }
post(0.20, lr_pos)

# 多階層 LR：每一段各自跟「有病 / 沒病的分布」比
band <- cut(aSAH$s100b, c(0, 0.10, 0.20, 0.40, Inf), right = FALSE)
tab  <- table(band, dis)
(tab[, "TRUE"] / sum(dis)) / (tab[, "FALSE"] / sum(!dis))

# 匯出給下面的 Python 用
write.csv(aSAH, "aSAH.csv", row.names = FALSE)

驗證環境：R 4.6.0 + pROC 1.19.0.1。LR 的信賴區間用 Simel 的 log 尺度公式，自己寫三行就好，不需要額外套件。

import numpy as np
import pandas as pd

d = pd.read_csv("aSAH.csv")            # 由本頁上面那段 R 匯出
pos = d["s100b"] >= 0.20
dis = d["outcome"] == "Poor"
tp = (pos & dis).sum(); fp = (pos & ~dis).sum()
fn = (~pos & dis).sum(); tn = (~pos & ~dis).sum()

sens, spec = tp / (tp + fn), tn / (tn + fp)
lr_pos, lr_neg = sens / (1 - spec), (1 - sens) / spec

se = np.sqrt(1/tp - 1/(tp + fn) + 1/fp - 1/(fp + tn))
print(np.exp(np.log(lr_pos) + np.array([0, -1.96, 1.96]) * se))

def post(pre, lr):
    o = pre / (1 - pre) * lr
    return o / (1 + o)

band = pd.cut(d["s100b"], [0, 0.10, 0.20, 0.40, np.inf], right=False)
tab = pd.crosstab(band, dis)
print((tab[True] / dis.sum()) / (tab[False] / (~dis).sum()))

Python 沒有標準的 LR 函式，直接照定義寫；重點是 CI 要在 log 尺度上算再取回來。

常見誤用

誤用	為什麼錯
把 LR 當成機率報告	LR 是勝算要乘的倍數，本身不是機率，可以大於 1
在機率尺度上直接乘 LR	必須先換成勝算；機率直接相乘沒有意義
用族群盛行率當每一位病人的檢驗前機率	檢驗前機率是這位病人的，要納入症狀、病史、風險因子
把多個檢驗的 LR 直接連乘	需要各檢驗結果在疾病狀態下條件獨立，臨床上常不成立
報 LR 不報信賴區間	LR 是比值，區間偏斜且常常很寬；跨過 1 表示這個結果沒有明顯偏向
只憑 LR 的大小判斷檢驗有沒有用	要看檢驗後機率有沒有跨過決策門檻，門檻由後果決定
把 LR 分級門檻當成硬規定	那是經驗法則；同一個 LR 在不同檢驗前機率下的作用差很多
為了表格好看而多切幾層	每層人數變少、CI 變寬；相鄰層 LR 沒分開就該合併
分層界線從資料挑出來卻不說	與挑切點同一個問題，會產生樂觀偏誤
對幾乎確定或幾乎排除的病人再加做中等強度檢驗	絕對變化在極端的檢驗前機率下很小，改變不了處置

重跑本頁的所有數字

/opt/homebrew/bin/Rscript figures/scripts/B4-03-likelihood-ratio.R

讀讀看這張圖

答案取自產生本頁圖表的同一份統計輸出，不是另外打上去的。

這個檢驗的 LR+ 是 3.26。一位檢驗前機率 0.20 的病人拿到陽性報告，檢驗後機率該怎麼算？

看答案與解析

正確答案: 先把 0.20 換成勝算，乘上 LR+ 之後再換回機率，得到 0.449

LR 乘在勝算上，不是乘在機率上。檢驗前機率 0.20 對應的勝算是四分之一，乘上 3.261 之後再換回機率，得到 0.449。把 0.20 直接乘 3.261 會得到大於二分之一的數，而且在檢驗前機率較高時會超過一，一看就知道尺度錯了。0.102 是同一位病人拿到陰性報告時的檢驗後機率——同一列裡相鄰的兩欄，方向完全相反。整個流程固定是三步：機率換勝算、乘 LR、勝算換回機率。

LR+ 是 3.26，95% 信賴區間 1.93 到 5.51。要判斷這個陽性結果有沒有偏向某一邊，該看區間的什麼？

看答案與解析

正確答案: 看下界 1.93 有沒有大於 1——它大於 1，所以這個結果確實偏向有病

LR 是比值，它的無資訊點是 1 而不是 0：LR 等於 1 表示有病與沒病的人出現這個結果的機率一樣。所以要看的是區間有沒有跨過 1，這裡下界 1.93 已經大於 1。5.51 是上界，拿它去對照常被引用的分級門檻，等於把最樂觀的一端當成估計值。0.69 是 LR− 的上界，它回答的是陰性結果的問題，與這一題無關；兩欄各有各的區間，不必也不會一起跨線。

同一個 LR+ 3.26 用在三位病人身上，檢驗前機率分別是 0.05、0.36 與 0.70。哪一位因為這張陽性報告改變最多？

看答案與解析

正確答案: 檢驗前機率 0.36 那位，絕對變化 0.287——同一個 LR 的絕對效果在中段最大

乘法發生在勝算尺度上，換回機率時會被壓在零與一之間，所以同一個 LR 在兩端的絕對變化都小、中段最大。0.36 那位增加 0.287 個機率單位，0.70 那位只增加 0.184，0.05 那位增加 0.097。注意這與 LR 的大小無關，三位病人用的是同一個 3.26。臨床推論很直接：對已經幾乎確定有病或幾乎確定沒病的人，再加做一個中等強度的檢驗改變不了處置，檢驗的價值集中在不確定的那一段。

把病例或對照整批複製，世代盛行率從 12.5% 換到 69.5%，再算一次 PPV 與 LR。哪一個說法對？

看答案與解析

正確答案: PPV 從三成一走到八成八，LR+ 在三個世代都是 3.261，一位小數都沒動

LR+ 是敏感度除以一減特異度，兩個輸入都在各自的疾病狀態內部算，複製整批人不會動到它們，所以 LR+ 在三個世代都是 3.261。PPV 則混了兩群人，從 0.317 走到 0.881。這正是診斷準確度的 meta-analysis 合併敏感度、特異度或 LR、而不合併 PPV 的理由——各研究的盛行率不同，PPV 之間不可比。但「不隨盛行率變」講的是算式：換到病情組成不同的族群時，敏感度與特異度本身會動，LR 也就跟著動。

多階層 LR 把這個標記切成四段。最低兩段的 LR 是 0.439 與 0.468，兩段的 95% 信賴區間幾乎完全重疊。正確的說法是什麼？

看答案與解析

正確答案: 最低那一段的區間從 0.211 一路到 0.915，這份資料不足以分辨兩段的 LR 是否不同

未達到可分辨不等於相同。兩段的區間都很寬——最低那一段從 0.211 一路到 0.915——而且幾乎完全重疊，能說的只有「這份資料不足以分辨它們是否不同」。把 0.468 與 0.439 當成同一個數，是把沒有證據當成沒有差異。第三段的 2.634 反而是真正拉開的地方：它與最高段的 3.732 一起被二分法平均掉，那才是二分法丟掉的東西。切愈多層每層人愈少、區間愈寬，所以分層界線要事先依臨床意義決定，切完再檢查相鄰兩層有沒有真的分開。

四個區間的檢驗後機率都從同一個檢驗前機率 36.3% 出發。最高那一段被推到 0.680，最低那一段被拉到 0.200。二分法會怎麼處理這四段？

看答案與解析

正確答案: 二分法把最高兩段併成一個「陽性」，於是原本檢驗後機率 0.680 與 0.600 的兩群人拿到同一個數

二分法只有陽性與陰性兩個結果，所以最高兩段的病人一起變成陽性、最低兩段一起變成陰性。原本檢驗後機率 0.680 與 0.600 的兩群人被壓成同一個數，0.200 與 0.211 那兩群也是。二分法用的 LR+ 是那兩段合起來算出來的，不是最高那一段的 3.732——把它當成整體的 LR+ 會系統性高估中度升高的那一群。這正是多階層 LR 想救回來的資訊：剛好落在切點上方一點點的人，跟高出十倍的人，被當成同一件事。

用到這個方法的章節

診斷準確度研究

延伸觀看

ENTerry Shaneyfelt· 10 min十分鐘把 LR 的定義與臨床用法講完，讀本頁第二節前先看這支最省力。

ENPhysiotutors· 8 min從 SpPIN / SnNOUT 接到 LR，正好補上 B4-01 最後留下的那個缺口。

ENJAMA Network· 19 minJAMA 的 Rational Clinical Examination 系列，示範怎麼把 LR 用在真實的床邊決策。

ENRahul Patwari· 8 min手繪講解，nomogram 那一段畫得比多數投影片清楚。

繁中獸醫好想告訴你· 19 min繁中唯一正面處理「陽性概似比」的完整一集，術語中文說法在這裡有對照。

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