t 檢定與變異數分析

這個方法在解決什麼問題

你有一個連續的結果（出生體重、血壓、住院天數）和一個分組變項。問題永遠是同一句話：組間看到的這個差距，大到不像是抽樣的運氣嗎？

t 檢定與變異數分析（analysis of variance, ANOVA）是同一個想法的兩種規模。它們都在算同一個比值：

t 檢定的分母是差距的標準誤，ANOVA 的分母是組內變異。分子被分母除掉之後，你得到的是「以這份資料的雜訊為尺，這個差距有幾個單位大」。p 值只是把那個數字換算成機率的最後一步。

本頁用 MASS::birthwt：1986 年美國麻州 Springfield 一家醫院收集的 189 位產婦資料，結果變項是新生兒出生體重（公克）。

常態性假設到底假設了什麼

這個假設常被壓縮成一句「t 檢定不假設資料常態」，但它其實有三層，混在一起講就會出錯：

1. 精確推論那一層確實是對資料的假設。 小樣本下 t 統計量精確服從 t 分布，前提是每組的觀測值（更精確地說是模型的誤差項）確實常態；實務上資料只是近似常態，所以那個分布也只是近似。配對 t 檢定假設的則是配對差值近似常態，不是兩次測量各自常態。
2. Welch 放寬的不是這一層。 Welch t 檢定鬆綁的是「兩組變異數相等」這個假設，常態性假設它原封不動地留著。
3. 樣本夠大時這層假設才變得沒那麼要緊。 觀測值彼此獨立、分布的變異數有限時，中央極限定理（central limit theorem, CLT）讓平均數（或平均差）的抽樣分布趨近常態，因此原始資料的輕中度偏態通常不致命。但小樣本、極端離群值、或非常重尾的分布仍會讓推論失準。

換句話說，真正該問的不是「資料常不常態」，而是「以我手上的 n 與這個分布的形狀，常態近似夠不夠好」。第三層可以實際演給你看：拿 survival::pbc 的血清膽紅素（偏態係數 2.7，右尾長到不行）重複抽樣，看樣本平均數的分布怎麼靠向常態：

所以實務上的判準不是「跑一次常態性檢定看它顯不顯著」，而是：

• n 很小（每組十幾人以下）而且分布明顯偏態 → t 檢定的 p 值可能不準，考慮無母數方法或以差異的信賴區間為主。
• n 中等以上（每組數十人） → 即使原始資料偏態，t 檢定通常相當穩健。
• 有極端離群值 → 這才是真正危險的情況。CLT 對離群值的收斂比對偏態慢得多，而且平均數本身可能已經不是你想要的摘要量。

Welch 應該是預設

R 的 t.test() 預設 var.equal = FALSE，也就是 Welch t 檢定，這是對的。Student’s t 檢定多要求一個條件——兩組變異數相同——而這個條件：

• 在真實資料裡幾乎不會剛好成立；
• 用檢定（var.test()、Levene 檢定）去驗它，會落入本頁第七節講的同一個陷阱；
• 不成立時 Student 版本的型一錯誤率會偏掉，特別是在兩組樣本數不等的時候。

而 Welch 不需要這個條件，代價只是自由度變成小數、檢定力損失極小。不等變異數才是常見情況，等變異數是特例——所以預設值應該對應常見情況，而不是特例。

以本頁的資料為例，兩組變異數比是 1.3，兩種算法的結論其實一樣：

差異很小，這正是重點：用 Welch 幾乎沒有成本，卻少了一個要辯護的假設。 沒有理由為了省那一點檢定力去承擔它。

動手跑一次

library(MASS)
data(birthwt, package = "MASS")

birthwt$smoke_f <- factor(birthwt$smoke, levels = c(0, 1),
                          labels = c("Non-smoker", "Smoker"))
birthwt$race_f  <- factor(birthwt$race, levels = 1:3,
                          labels = c("White", "Black", "Other"))

# 兩組獨立樣本：Welch（預設）
t.test(bwt ~ smoke_f, data = birthwt)

# 配對：同一批人量兩次
# R 4.4 起公式介面不再接受 paired=TRUE（會報 cannot use 'paired' in formula method）
data(sleep)
t.test(Pair(sleep$extra[sleep$group == 2],
            sleep$extra[sleep$group == 1]) ~ 1)

# 三組以上：單因子 ANOVA + Tukey 事後比較
fit <- aov(bwt ~ race_f, data = birthwt)
summary(fit)
TukeyHSD(fit)

# 無母數的對應版本（分布嚴重偏態且 n 小時）
wilcox.test(bwt ~ smoke_f, data = birthwt)     # Mann-Whitney U
kruskal.test(bwt ~ race_f, data = birthwt)     # Kruskal-Wallis

import statsmodels.api as sm
from scipy import stats
import pingouin as pg

bw = sm.datasets.get_rdataset("birthwt", "MASS").data
g1 = bw.loc[bw["smoke"] == 0, "bwt"]
g2 = bw.loc[bw["smoke"] == 1, "bwt"]

# ⚠️ scipy 的預設與 R 相反，Welch 要自己開
stats.ttest_ind(g1, g2, equal_var=False)

sleep = sm.datasets.get_rdataset("sleep").data
d1 = sleep.loc[sleep["group"] == 1, "extra"].to_numpy()
d2 = sleep.loc[sleep["group"] == 2, "extra"].to_numpy()
stats.ttest_rel(d2, d1)

groups = [g["bwt"].to_numpy() for _, g in bw.groupby("race")]
stats.f_oneway(*groups)
pg.pairwise_tukey(data=bw, dv="bwt", between="race")

抽菸組 74 人、平均 2771.9 g（SD 659.6），未抽菸組 115 人、平均 3055.7 g（SD 752.7）。差距 283.8 g，95% CI 79–489 g，p = 0.007，Cohen’s d = 0.4。

配對與獨立：同一批數字，兩個結論

配對（paired）與獨立（independent）的差別不在資料長什麼樣，而在這兩欄數字之間有沒有一對一的連結：同一個人前後測、同一個人左右眼、配對設計的病例對照。有連結就必須用配對版本，理由是配對把「人與人之間的差異」整個消掉，剩下的雜訊小得多。

用 Student 在 1908 年分析的那份安眠藥資料（datasets::sleep，10 位受試者各試兩種藥，資料由 Cushny 與 Peebles 收集）示範。兩種分析法吃的是完全相同的 20 個數字：

點估計一模一樣，p 值卻從 0.003 變成 0.079。原因是兩次測量的相關係數高達 0.8——本來就睡得多的人兩種藥都睡得多。配對分析把這個個人差異扣掉，只看每個人自己的變化（差值的 SD 只有 1.23，而各組原始 SD 是 1.79 與 2）。

左圖那幾條線就是配對檢定在看的東西。10 位受試者裡，9 位在第二種藥上睡得比較多、0 位比較少、1 位完全沒變。這些線在垂直方向占據 -1.6 到 5.5 小時，人與人差得很開，但每一條線自己的走向幾乎一致——而走向這件事，只有把兩個點連起來才看得見。獨立樣本分析把兩欄拆開，看到的是兩堆上下散得很開的點（SD 1.79 與 2），那個共同走向被算進雜訊裡；配對分析先把每條線壓成一個差值（右圖），差值從 0 到 4.6，散布只剩 SD 1.23，而它們的平均 1.58 小時的 95% 信賴區間 0.70–2.46 整段都在 0 的右邊。同一個走向，在一種分析裡是訊號，在另一種裡是雜訊。

ANOVA 與它之後的多重比較

三組以上時，直接做三次兩兩 t 檢定會讓型一錯誤累積：三次獨立比較至少出現一次假陽性的機率是 14.3%，十次就是 40.1%。ANOVA 用一個綜合檢定（omnibus test）先問一句「這幾組的平均數全部相同嗎」，把多重性擋在門外。

本頁三個族群分組的結果是 F(2, 186) = 4.91，p = 0.008，$\eta^2$ = 0.05——也就是說族群這個變項解釋了出生體重總變異的 5%。

Tukey HSD 是最常用的事後方法，它調整的是家族層級（family-wise）的錯誤率：

最後兩欄的差距就是調整的代價：黑人 vs 白人的未調整 p 是 0.012，調整後變成 0.043，剛好貼著 0.05。論文只報未調整的兩兩 p 值而不說明，等於默默把型一錯誤率放大。

幾個實務要點：

• 事後比較要事先講好。 「所有兩兩比較」與「只比對照組」需要的調整不同（後者用 Dunnett 檢定力更好）。
• 不要用「先看 ANOVA 顯不顯著再決定要不要做兩兩比較」當作免調整的理由（俗稱 Fisher’s LSD）。組數超過三組時它保護不了家族錯誤率。
• 主要假說如果本來就是特定兩組，就直接做那一個比較並事先寫進計畫書，不必先跑 ANOVA。

為什麼「先做常態性檢定再決定」是壞習慣

很多人的流程是：先跑 Shapiro-Wilk，p > 0.05 就用 t 檢定、p < 0.05 就改 Wilcoxon。這個流程有三個問題，其中第一個最致命。

常態性檢定的檢定力隨 n 變動，方向剛好跟你需要的相反。 從一個固定的偏態分布（Gamma(shape = 2, rate = 1), skewness = 1.41）重複抽樣 2000 次：

同一個分布，n = 20 時 Shapiro 只抓到 52.4%，將近一半的樣本被放行、於是你用了 t 檢定；n = 500 時抓到 100.0%，於是每次都改用無母數。但 Welch 的實際型一錯誤率在兩種情況下都貼著名目的 0.05——這個流程在該擔心的時候放行，在不必擔心的時候攔阻。

另外兩個問題：

• 兩階段流程本身會扭曲最終的錯誤率。 你報出來的 p 值是「條件在第一個檢定的結果之上」算的，它的分布已經不是原來那個了。
• 它把方法選擇交給資料。 該用什麼分析應該由設計與問題決定並事先寫下來，不是跑完看結果再挑。

正確的做法：事先根據變項的性質決定（住院天數、費用、生物標記濃度這類本來就右偏的量，一開始就規劃用中位數與無母數方法或轉換），再用直方圖與 Q-Q 圖確認資料沒有意料之外的形狀，不用檢定當開關。

常見誤用

重跑本頁的所有數字

/opt/homebrew/bin/Rscript figures/scripts/B1-02-t-test-anova.R

延伸觀看

▶醫學統計 EP10 t 檢定與非參數法

▶醫學統計 EP11 ANOVA

▶醫學統計 EP04 標準差與標準誤

▶生物統計學一 45.【型一與型二錯誤】

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