nomogram（列線圖）

nomogram 不是一種模型

在腫瘤科與外科的臨床論文裡，nomogram 幾乎是格式的一部分：模型配完、C-index 報完， 最後一張圖就是那把橫著排、上面掛滿刻度的尺。它太常出現，以至於句子會寫成 「我們建立了一個 nomogram 來預測五年復發」——好像 nomogram 是一種模型。

它不是模型。 它是把一個已經配好的迴歸模型的線性預測值， 換算成 0 到 100 分的刻度，再畫出來。沒有任何新的資訊被加進去， 也沒有任何參數在畫圖的時候被估計。它是一個手算工具：讓不想開電腦的人， 用一支筆和一把直尺，得到跟程式一樣的數字。

所以「這張 nomogram 好不好」這個問題本身是壞的。該問的是它背後那個模型 有沒有做過內部驗證、 外部驗證與 校準。這一頁的後半會把這三個問題， 接回本站在同一個模型上已經量出來的答案。

這張尺畫的是什麼

這一頁刻意用與校準那一頁完全同一個模型： 在 survival::rotterdam（2982 位病人、 1713 個事件）上配一個 Cox 模型，四個預測變項， 時間視野 5 年；外部驗證世代是 survival::gbsg （686 位病人、299 個事件）。

用同一個模型是這一頁的論證需要：如果 nomogram 真的只是換一種畫法， 那它就不該改變校準那一頁量到的任何一個數字。

讀它的動作有三步：

1. 每個變項在自己那條軸上找到病人的值，往上垂直對到分數軸，讀一個分數。
2. 四個分數相加，在總分軸上找到那個位置。
3. 從總分軸往下垂直對到最底下的風險軸，讀出預測風險。

順著這把尺走一次

拿一位假想病人：年齡 55、腫瘤 35 mm、 4 顆陽性淋巴結、grade 3。這位病人是刻意挑在開發世代中段的， 理由就是上一段那件事（腳本裡的 selection_rule 記著同一句話）。

逐項把分數讀出來——不是用係數重算，是在圖上那幾條軸上做線性內插， 也就是讀者拿尺會做的同一件事：

總分 42.80 分換回線性預測值是 0.280401， 再過一次基準存活函數，得到五年風險 52.2%。

另一條路完全不碰那張圖：把四個共變項值直接乘上係數、加起來，得到線性預測值 0.280401，同樣過一次基準存活函數，得到 52.2%。

不只這一位病人：整個開發世代

一位病人吻合，可能是挑出來的。所以產這一頁的腳本把開發世代的每一位病人 都跑了一次：對每個人在四條軸上讀分數、加總，再跟他自己的線性預測值對照。

2982 個點，最大殘差 4.3e-14， $R^2$ 是 1.000000。總分是線性預測值的仿射變換 （先平移、再乘上一個常數），沒有別的。寫成式子：

$\eta$ 是線性預測值，$\eta_0$ 是總分為 0 時的線性預測值，$k$ 是每一單位線性預測值值多少分。 在這個模型上 $k$ 是 39.57 分，$\eta_0$ 是 -0.801。 （$\eta_0$ 是負的，因為 rms 給的線性預測值以共變項的平均值為原點： 總分 0 的那位病人在每一條軸上都取最小值，當然低於世代平均。）

分數的刻度是怎麼定出來的

既然是換單位，就得有人決定換算率。rms::nomogram 的規則是： 先算每個變項在自己那條軸的刻度範圍內能讓線性預測值移動多少， 把移動最多的那個變項的軸定成滿分 100，其餘變項按同一個比例分。 刻度範圍不等於觀察範圍——這個模型上，陽性淋巴結數 的刻度取到 35， 而世代裡實際看到的最大值是 34，換算率算的是前者。

在這個模型上，跨度最大的是陽性淋巴結數那一條軸——它的係數乘上軸的跨度是四個變項裡最大的， 所以它獨佔滿分，其他三條軸都比它短：Grade 3 組織學 最短，只有 13.14 分， 年齡那一條 14.03 分緊接在後——後者短到產圖腳本必須自己指定刻度， 否則預設的刻度會擠成一團。 換算率因此定在每單位線性預測值 39.57 分。

還有一個實作上的坑，跟臨床解讀無關但會讓頁面說謊：畫圖的套件與報表的套件必須是同一個配適。 nomogram() 只認得 rms::cph 的模型物件， 而多數人在正文報的係數來自 survival::coxph。 cph 的收斂容忍度預設比較鬆，兩邊的係數只會吻合到小數點後四、五位—— 足以讓「這是同一個模型」這句話變成不完全正確的。

產這一頁的腳本把容忍度收緊，並且用 stopifnot() 擋住：

四個係數的最大差距是 4.6e-15， 低於腳本設定的門檻。如果哪天某次改動讓兩邊分家，腳本會停下來，而不是安靜地出貨一張 「不是正文那個模型」的圖。

跟 Fagan nomogram 不是同一個東西

診斷那一頁也有一張叫 nomogram 的圖。 兩者共用「用幾何取代算術」這個古老的想法，但用途、輸入與輸出全部不同：

最實際的差別在動作：Fagan 的圖要你畫一條斜的直線穿過三條軸； 這裡的圖只要求垂直對齊，然後做加法。看到有人在預測模型的 nomogram 上 拿尺連斜線，那是把兩張圖搞混了。

那該問這張圖什麼

既然 nomogram 沒有增加資訊，評價它就等於評價它背後那個模型。同一個模型，本站量過三件事：

鑑別力從開發到外部掉了一點，這是預期中的。真正該停下來的是最後一列： 校準斜率明顯低於 1，而且 95% 信賴區間整段落在 1 以下。

斜率小於 1 的意思是預測值過度離散： 高風險的人被推得太高、低風險的人被壓得太低。 放回這張 nomogram 上，就是同一句話的圖形版——這把尺的兩端都太長。 一位在圖上落到高分端的病人，讀出來的風險比他在 survival::gbsg 這個世代真正的風險高；低分端反過來。

動手跑一次

library(survival); library(rms)
data(cancer, package = "survival")

dev <- rotterdam
dev$rfs_time  <- pmin(dev$rtime, dev$dtime)
dev$rfs_event <- as.integer(dev$recur == 1 | dev$death == 1)
dev$size_mm   <- c("<=20" = 15, "20-50" = 35, ">50" = 60)[as.character(dev$size)]
dev$grade3    <- as.integer(dev$grade >= 3)

# 標籤要在 cph() 之前掛上去，否則圖上留下裸變項名，而且不會報錯
label(dev$age)     <- "Age at diagnosis (years)"
label(dev$size_mm) <- "Tumour size (mm)"
label(dev$nodes)   <- "Positive nodes (count)"
label(dev$grade3)  <- "Grade 3 histology (1 = yes)"

dd <- datadist(dev); options(datadist = "dd")

# eps 預設是 1e-4，係數只會跟 coxph 吻合到 1e-5 量級
fit <- cph(Surv(rfs_time, rfs_event) ~ age + size_mm + nodes + grade3,
           data = dev, surv = TRUE, x = TRUE, y = TRUE, eps = 1e-9, tol = 1e-12)
max(abs(coef(fit) - coef(coxph(Surv(rfs_time, rfs_event) ~
       age + size_mm + nodes + grade3, data = dev))))    # 應該是 1e-15 量級

H     <- 5 * 365.25
surv5 <- Survival(fit)
risk5 <- function(lp) 1 - surv5(H, lp)

nom <- nomogram(fit, fun = risk5, funlabel = "5-year risk")
plot(nom, xfrac = 0.34)

# 換算率就存在 nomogram 物件的 attribute 裡
info <- attr(nom, "info")
info$sc          # 每一單位線性預測值幾分
info$Intercept   # 總分為 0 時的線性預測值

# 一位病人，兩條路
patient <- data.frame(age = 55, size_mm = 35, nodes = 4, grade3 = 1)
lp_direct <- as.numeric(predict(fit, newdata = patient, type = "lp"))

# ⚠️ 掛了標籤之後，nom 的元素是用「標籤」命名的，用變項名查會拿到 NULL
ax     <- nom[["Positive nodes (count)"]]
p_node <- approx(ax$nodes, ax$points, xout = patient$nodes)$y

# 把四條軸的分數都讀出來加總之後：
# lp_from_points <- total_points / info$sc + info$Intercept
# risk5(lp_from_points) 與 risk5(lp_direct) 會相同到浮點精度

import numpy as np, pandas as pd
from lifelines import CoxPHFitter
# 與 B5-05 相同的世代調和與模型配適。攤開寫，這一段才自己跑得動。

RD  = "https://vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/csv/"
rot = pd.read_csv(RD + "survival/rotterdam.csv")

rot["rfs_time"]  = rot[["rtime", "dtime"]].min(axis=1)
rot["rfs_event"] = ((rot["recur"] == 1) | (rot["death"] == 1)).astype(int)
rot["size_mm"]   = rot["size"].map({"<=20": 15, "20-50": 35, ">50": 60})
rot["grade3"]    = (rot["grade"] >= 3).astype(int)

dev = rot

# rms::nomogram 沒有 Python 等價品。但那張圖的全部內容就是這幾行。
v   = ["age", "size_mm", "nodes", "grade3"]
fit = CoxPHFitter().fit(dev[v + ["rfs_time", "rfs_event"]], "rfs_time", "rfs_event")
beta = fit.params_[v].to_numpy()

lo, hi = dev[v].min().to_numpy(), dev[v].max().to_numpy()
span   = np.abs(beta * (hi - lo))     # 每條軸能讓線性預測值移動多少
scale  = 100 / span.max()             # 跨度最大的那條軸值滿分

def points(x):                        # 一位病人的逐項分數
    return beta * (np.asarray(x, float) - lo) * scale

p     = points([55, 35, 4, 1])
total = p.sum()
lp    = total / scale + float(beta @ lo)      # 換回線性預測值（未中心化）

# 對照：直接算。這裡兩者都在未中心化的刻度上，所以應該完全相等
lp_direct = float(beta @ np.array([55, 35, 4, 1]))
print(p, total, lp, lp_direct)                # lp 與 lp_direct 應相同

# 畫尺：每條軸就是一條線段加一組刻度，用 matplotlib 的 hlines + text 即可

讀論文看到 nomogram 時要問的四件事

1. 有沒有外部驗證？ 只在開發世代畫一張 nomogram，等於把一個沒驗過的模型排版得很好看。
2. 有沒有校準曲線？ 這張圖給的是絕對風險，而絕對風險準不準是校準的問題，不是 C-index 的問題。
3. 分數是拿來做什麼的？ 如果論文用分數切出「高／中／低風險組」，那個切點是怎麼定的、 有沒有在別的資料上重現過？分數本身沒有跨研究的意義。
4. 它跟現有的分期系統比，多買到了什麼？ 這要看 決策曲線或淨重分類，不是看圖好不好看。

常見誤用

重跑本頁的所有數字

/opt/homebrew/bin/Rscript figures/scripts/B5-09-nomogram.R

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