第 8 章　K-平均分群（K-Means Clustering）¶

預計閱讀 30 分鐘・先備：第 2 章（Pandas、Matplotlib）、第 3 章（標準化）

本章你會學到

分辨監督式學習與非監督式學習（unsupervised learning），說出「沒有答案也能找結構」是什麼意思
用「分配、更新、重複」的步驟理解 K-Means，並用 scikit-learn 實作
解釋為什麼分群前一定要標準化，以及偏態變數、離群值會怎麼干擾結果
用手肘法與輪廓係數挑選 K，並誠實判讀「這份資料其實沒有明顯分群」的訊號
把分群結果和臨床結果做事後對照，並說明為什麼「分群不等於診斷」

1. 直覺：從一個臨床情境開始¶

想像你在心臟內科病房見習，手上有 299 位 heart failure（心衰竭）病人的抽血與超音波結果：年齡、ejection fraction（射出分率）、serum creatinine（血清肌酸酐）、serum sodium（血鈉）……主治醫師問你：「這群病人看起來是一整群，還是其實可以分成幾種不太一樣的人？」

前面幾章做的都是監督式學習（supervised learning）：每筆資料都附了答案（良性或惡性、死亡或存活），模型的任務是學會從特徵猜出答案。這一章的問題不一樣——我們手上沒有答案欄位，或者說，我們刻意先不看答案，只想知道「哪些病人彼此比較像」。這就是非監督式學習，而分群（clustering）是其中最常見的一種任務。

分群在醫學研究並不陌生。例如 2018 年一篇瑞典研究用 K-Means 與階層式分群，依 6 個變數把新診斷的成人糖尿病病人分成 5 群，並在另外三個世代重現；2015 年也有研究用階層式分群與模型式分群，把 HFpEF（heart failure with preserved ejection fraction，射出分率保留型心衰竭）病人分成 3 個表型群。這類研究的共同出發點是：傳統診斷分類可能把異質性很高的病人放在同一格裡，資料驅動的分群也許能幫忙找出更細的亞群。

K-平均分群（K-Means clustering）是最直覺的分群演算法。你可以把它想成分配病房：

醫院有 K 間病房，每間病房有一位「代表病人」（群中心，centroid）。
每位病人被送到跟自己最像的代表所在的病房。
人都分好之後，每間病房重新選代表：把房內所有病人的數值取平均，當成新的代表。
代表換了，有些病人可能覺得隔壁病房的代表更像自己，於是換房。
一直重複，直到沒有人要換房為止。

整個過程完全沒有用到「誰最後死亡」這種答案，只用了病人之間的相似程度。

2. 核心概念¶

2.1 四個步驟¶

flowchart LR
    A["① 選定 K，<br/>隨機放 K 個群中心"] --> B["② 分配：每個點<br/>歸給最近的群中心"]
    B --> C["③ 更新：群中心搬到<br/>自己成員的平均位置"]
    C --> D{"④ 分配結果<br/>還會改變嗎？"}
    D -- 會 --> B
    D -- 不會 --> E["收斂，輸出<br/>每個點的群別"]

下圖用一份「答案很明顯」的玩具資料示範：300 個點其實來自 3 團，但演算法不知道。

K-Means 的四個步驟：隨機放中心、分配、更新、重複到收斂

第一次隨機放下的中心有兩個擠在同一團，所以一開始的分配很糟（左下那團整個被劃給橘色）。但每一輪「分配、更新」之後，中心會慢慢挪到合理的位置，到第 7 輪分配不再改變，三群各 100 點，剛好找回原本的三團。

2.2 「像不像」怎麼算：距離¶

K-Means 判斷「最近」用的是歐氏距離（Euclidean distance），也就是國中學過的兩點距離公式推廣到多個變數。這帶來一個很實際的後果：數字大的變數會主導距離。

以本章的資料為例，platelets（血小板）以每微升幾十萬計，而血清肌酸酐大多在 1 mg/dL 上下。兩位病人血小板差 5 萬，在距離裡的份量遠遠超過肌酸酐差 3 倍。不處理的話，演算法其實只是在按血小板排序切段。所以分群前一定要標準化（standardization）：把每個變數減去平均、除以標準差，讓大家都變成「平均 0、標準差 1」，站在同一個起跑點（第 3 章介紹過 StandardScaler）。

2.3 K-Means 在最佳化什麼¶

K-Means 想讓群內平方和（within-cluster sum of squares，WCSS）越小越好：每個點到自己群中心的距離平方加總起來。scikit-learn 把這個值叫 inertia_。「分配」和「更新」這兩步都只會讓它變小或不變，所以演算法一定會停下來。

數學補充（可跳過）

給定 \(n\) 個資料點 \(x_1, \dots, x_n\) 與群數 \(K\)，K-Means 要找群別 \(C_1,\dots,C_K\) 與群中心 \(\mu_1,\dots,\mu_K\)，使

\[ \text{WCSS} = \sum_{k=1}^{K} \sum_{x_i \in C_k} \lVert x_i - \mu_k \rVert^2 \]

最小。固定群中心時，把每個點分給最近的中心可讓 WCSS 最小（分配步驟）；固定群別時，令 \(\mu_k = \frac{1}{|C_k|}\sum_{x_i \in C_k} x_i\)（平均）可讓 WCSS 最小（更新步驟）。兩步交替，WCSS 單調不增，因此會收斂；但只保證收斂到局部最佳解（local optimum），不保證是全域最小。

2.4 初始值與 `n_init`¶

因為起點是隨機的，K-Means 可能卡在不好的局部最佳解。常見的兩個對策：

k-means++ 初始化：挑初始中心時刻意讓它們彼此分散，scikit-learn 預設就用這個。
多跑幾次取最好：n_init=10 代表用 10 組不同初始值各跑一次，留下 WCSS 最小的那次。

版本差異

scikit-learn 1.4 之後 n_init 的預設是 "auto"，搭配 k-means++ 時實際上只跑 1 次。本章一律明寫 n_init=10，並固定 random_state=42 讓結果可重現。

2.5 要分幾群：手肘法與輪廓係數¶

K 必須由你事先決定。兩個常用的參考工具：

工具	怎麼做	怎麼看
手肘法（elbow method）	試不同 K，畫出 WCSS	WCSS 必然隨 K 增加而下降；找「下降突然變緩」的轉折點
輪廓係數（silhouette coefficient）	每個點比較「跟自己群的平均距離」與「跟最近的別群的平均距離」	介於 −1 到 1；接近 1 = 群內緊密、群間分明；接近 0 = 群與群之間重疊

用病房比喻：K 太小，不同病況的人被塞在同一間；K 太大，每人一間，分了等於沒分。這兩個工具只提供參考，最後的 K 還要看臨床上能不能解讀、在別的資料上能不能重現。

3. 動手做¶

以下程式碼與 Notebook 一致，建議直接在 Colab 邊看邊跑。

3.1 徒手寫出兩個核心函式¶

K-Means 的核心只有兩個函式：分配（找最近的中心）與更新（算平均）。

def assign(X, centers):
    # distance from every point to every center: shape (n_points, k)
    d = np.linalg.norm(X[:, None, :] - centers[None, :, :], axis=2)
    return d.argmin(axis=1)

def update(X, labels, k):
    return np.array([X[labels == j].mean(axis=0) for j in range(k)])

在 notebook 裡把這兩個函式放進迴圈反覆執行，會印出每一輪群中心移動的距離；移動距離變成 0 時就是收斂。

3.2 載入心衰竭資料¶

資料是 UCI Machine Learning Repository 的 Heart Failure Clinical Records（ID 519，CC BY 4.0）：299 位心衰竭住院病人，2015 年收案於巴基斯坦 Faisalabad 的 Institute of Cardiology 與 Allied Hospital。先試 CSV 直連，失敗再改用 ucimlrepo。

URL = ("https://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/00519/"
       "heart_failure_clinical_records_dataset.csv")
try:
    df = pd.read_csv(URL)
except Exception as e:
    print("Direct CSV download failed:", e)
    try:
        from ucimlrepo import fetch_ucirepo
        r = fetch_ucirepo(id=519)
        df = r.data.features.join(r.data.targets)
    except Exception as e2:
        raise RuntimeError(
            "Cannot download the Heart Failure dataset. Check the internet connection, "
            "or run `%pip install ucimlrepo` and retry."
        ) from e2
df.columns = df.columns.str.lower()
print(df.shape)

輸出 (299, 13)：12 個特徵加上 death_event（追蹤期間是否死亡）。

我們只拿 6 個連續變數分群：年齡、creatinine phosphokinase（CPK，肌酸磷酸激酶）、射出分率、血小板、血清肌酸酐、血鈉。二元變數（貧血、糖尿病、性別等）只有 0 和 1，用歐氏距離衡量「像不像」意義不大，本章先不放；time（追蹤天數）和結果綁在一起，也不放。death_event 則刻意藏起來，最後才拿出來對照。

3.3 故意做錯：不標準化¶

先看不標準化會發生什麼事。

cols = ["age", "creatinine_phosphokinase", "ejection_fraction",
        "platelets", "serum_creatinine", "serum_sodium"]
km_raw = KMeans(n_clusters=3, n_init=10, random_state=42).fit(df[cols])
print(df.assign(cluster=km_raw.labels_).groupby("cluster")["platelets"]
        .agg(["size", "min", "max"]))

三群的血小板範圍分別是 210,000–338,000（184 人）、348,000–850,000（45 人）、25,100–208,000（70 人），完全不重疊。換句話說，演算法只是按血小板把病人切成中、高、低三段，其他五個變數幾乎沒發言權。

左：沒有標準化時，群別只由血小板決定；右：取 log 並標準化後，群別由多個變數共同決定

3.4 正確做法：偏態變數取對數，再標準化¶

CPK 與肌酸酐右偏很嚴重（CPK 中位數 250，最大值 7,861）。極端值會把群中心拉走，所以先取對數壓縮長尾，再標準化。

X = df[cols].copy()
X["creatinine_phosphokinase"] = np.log(X["creatinine_phosphokinase"])
X["serum_creatinine"] = np.log(X["serum_creatinine"])
X_scaled = StandardScaler().fit_transform(X)

執行後每一欄的平均都是 0、標準差都是 1。

3.5 選 K¶

K 從 2 試到 8，記錄 WCSS 與輪廓係數。

ks = range(2, 9)
inertias, sils = [], []
for k in ks:
    km = KMeans(n_clusters=k, n_init=10, random_state=42).fit(X_scaled)
    inertias.append(km.inertia_)
    sils.append(silhouette_score(X_scaled, km.labels_))

左：手肘法曲線平滑沒有明顯轉折；右：輪廓係數在每個 K 都低於 0.2，遠低於玩具資料的 0.86

這張圖要誠實地讀：手肘曲線一路平滑下降，找不到明顯的肘；輪廓係數在 K=2 最高（0.181），其餘 K 落在 0.137 到 0.160 之間，全部低於 0.2。對照玩具資料的 0.863，意思很清楚——這 299 位病人並沒有涇渭分明的天然分群，比較像一片連續分布。真實臨床資料常常就是這樣。

K-Means 仍然會乖乖交出你要的群數，但這時的群比較像「把連續光譜切成幾段」，而不是發現了幾種不同的病。為了示範多一點亞群的樣貌，下面用 K=3；這是一個需要寫明理由的主觀選擇，K=2 留在 notebook 當練習。

3.6 分群與各群輪廓¶

km = KMeans(n_clusters=3, n_init=10, random_state=42).fit(X_scaled)
df["cluster"] = km.labels_
profile = df.groupby("cluster")[cols].median().round(2)

三群人數分別是 69、151、79。用原始單位的中位數描述比較好讀：

群	人數	年齡	CPK（mcg/L）	射出分率（%）	血清肌酸酐（mg/dL）	血鈉（mEq/L）
群 0	69	65	246	30	1.83	134
群 1	151	53	478	35	1.00	138
群 2	79	65	129	50	1.10	138

群 0 的肌酸酐較高、血鈉較低、射出分率較低；群 1 相對年輕、CPK 較高；群 2 的射出分率最高、CPK 最低。三群的血小板中位數相近，血小板在這次分群裡的影響很小。

4. 醫學案例：分群之後，才打開答案¶

僅供學習

本例使用公開教學資料集（UCI Heart Failure Clinical Records，CC BY 4.0；原始研究 Ahmad 等，PLoS One 2017），僅供學習機器學習方法，不構成臨床建議。

分群時完全沒用到 death_event。現在才把它拿出來，看各群在追蹤期間的死亡比例：

outcome = df.groupby("cluster")["death_event"].agg(n="size", deaths="sum", death_rate="mean")

左：三群的群中心（標準化後）；右：事後對照各群追蹤期間死亡比例

群	人數	死亡人數	死亡比例
群 0	69	44	63.8%
群 1	151	35	23.2%
群 2	79	17	21.5%

全體的死亡比例是 32.1%（96/299）。群 0 的死亡比例高於另外兩群，群 1 與群 2 則相近。這個「無監督分群 → 事後對照結果」的流程很常見，但判讀時要非常小心：

這是描述性比較，不是因果。 群 0 是依較高的肌酸酐、較低的血鈉與射出分率劃出來的，而這些指標本身就和心衰竭預後相關。死亡比例較高是可以預期的，不代表「屬於群 0」本身造成死亡，也不代表分群找到了新的機轉。我們也沒有做任何統計檢定，這裡只是描述。
群不一定真實存在。 前面的輪廓係數已經告訴我們，這份資料沒有清楚的群界。換一個 K、換一組變數、換一個前處理方式，群的樣貌都會改變。
穩定性有限。 在 notebook 裡換 10 個亂數種子重跑：只用 1 組初始值（n_init=1）時，和第一次結果的調整蘭德指數（adjusted Rand index，ARI；1 代表完全相同）中位數只有 0.47，最低 0.22；改用 n_init=10 後中位數升到 0.94，但最低仍只有 0.46。結構不明顯的資料上，分群結果本來就容易搖擺。
樣本小、單一來源、沒有外部驗證。 299 人、單一城市的兩家醫院、單一時期。前面提到的糖尿病分群研究之所以受到重視，一個關鍵是它在另外三個獨立世代重現了類似的群；我們這裡完全沒有做到這一步。

所以比較恰當的結論是：「在這份資料中，K-Means 分出的其中一群肌酸酐較高、血鈉較低，追蹤期間的死亡比例也較高。」而不是「我們發現了一種高死亡率的心衰竭亞型」。分群是提出假說的工具，不是診斷。

5. 互動體驗¶

按「下一步」一步一步看 K-Means 怎麼跑：先隨機放中心，接著每個點連線到最近的中心（分配），再看中心搬到成員的平均位置（更新）。可以試試：

在「分明的團塊」上按幾次「重新放中心」，看看有沒有卡在不好結果的時候。
切到「均勻散布」：這份資料根本沒有群，K-Means 還是會照樣分出 K 群。
切到「兩個半月」：K-Means 會怎麼切？
點畫布新增離群點，看群中心被拉走多少。

想看更多初始化方式與資料形狀，可以玩 Naftali Harris 的 Visualizing K-Means Clustering（外部網站）。

6. 常見陷阱¶

陷阱 1：忘記標準化

K-Means 用距離判斷相似度，單位大的變數會主導一切。本章的心衰竭資料若不標準化，三群只是按血小板切成三段。量級差很多的醫學資料（血小板、白血球、肌酸酐混在一起）分群前一定要先標準化；嚴重右偏的變數也可先取對數。

陷阱 2：以為 K-Means 會告訴你「有幾群」

K 是你事先指定的，就算資料是均勻散布、根本沒有群，K-Means 也會照樣分出 K 群。手肘法與輪廓係數只是參考；輪廓係數普遍偏低時，應該在報告裡寫明「資料的群結構不明顯」，而不是硬選一個 K 當作發現。

陷阱 3：把分群結果當成診斷或疾病亞型

分群只保證「群內比較像」，不保證這些群有生物學或臨床意義。要主張某種分群有價值，需要在獨立資料重現、檢查穩定性，並說明它比既有的分類多提供了什麼資訊。事後比較各群結果時，差異只能描述為關聯，不能解讀為因果。

陷阱 4：用在形狀不適合的資料

K-Means 假設每群大致是「圓的一團」、大小差不多。遇到半月形、長條形或大小懸殊的群時會切錯（下圖兩個半月的例子，和真實分組的 ARI 只有 0.25）；離群值也會把群中心拉走。這類資料可考慮 DBSCAN、階層式分群或高斯混合模型（Gaussian mixture model）。

左：初始值不好，兩團被併成一群、一團被切兩半；右：非球形的群，K-Means 從中間直直切一刀

7. 小測驗¶

Q1. K-Means 的「更新」步驟在做什麼？

答案： 把每個群中心移到該群所有成員的平均位置。這一步和「分配」交替進行，每一輪都讓群內平方和變小或不變，直到分配不再改變為止。

Q2. 一份資料有年齡（40–95 歲）與血小板（25,000–850,000 /µL），不標準化直接跑 K-Means，會發生什麼事？

答案： 分群幾乎只由血小板決定。因為歐氏距離裡血小板的差異數值遠大於年齡，年齡的影響微乎其微；標準化後兩者才有相近的份量。

Q3. 某研究用 K-Means 把病人分成 3 群，發現其中一群的死亡比例較高，就宣稱「找到一種高死亡率的新亞型」。這個推論缺了什麼？

答案： 至少缺三件事：群結構是否明顯（例如輪廓係數）與結果是否穩定、是否在獨立資料重現（外部驗證）、以及死亡比例的差異是否只是反映了用來分群的變數（如腎功能）本身就和預後相關。事後比較只能描述關聯，不能說明因果。

8. 重點整理¶

非監督式學習沒有答案欄位，目的是找資料本身的結構；分群是最常見的非監督任務。
K-Means 四步驟：選 K 並隨機放中心 → 分配到最近的中心 → 中心更新為成員平均 → 重複到不再改變。
K-Means 用距離判斷相似度，分群前要標準化；偏態變數可先取對數。
起點是隨機的，只保證局部最佳；用 k-means++、n_init=10 與固定 random_state 提高穩定性與可重現性。
K 要事先指定；手肘法與輪廓係數只是參考。輪廓係數普遍偏低時，代表資料沒有明顯分群。
K-Means 假設群是球形、大小相近，對離群值敏感。
分群≠診斷：事後比較各群結果屬描述性關聯，需要穩定性檢查與外部驗證才能談臨床意義。

延伸閱讀¶

scikit-learn User Guide：Clustering（K-means） — 官方說明，含各分群演算法適用形狀的比較圖。
Microsoft ML-For-Beginners：Clustering — 免費課程的分群單元，用音樂資料示範 K-Means（MIT 授權）。
Python Data Science Handbook：In Depth: k-Means Clustering — VanderPlas 的經典教學，圖解局部最佳與非線性邊界。
Naftali Harris：Visualizing K-Means Clustering — 可以自己放中心、逐步執行的互動視覺化。
Ahlqvist E, et al. Novel subgroups of adult-onset diabetes. Lancet Diabetes Endocrinol 2018 — 用 K-Means 與階層式分群把新診斷糖尿病分成 5 群，並在 3 個獨立世代重現。
Shah SJ, et al. Phenomapping for novel classification of HFpEF. Circulation 2015 — 用階層式分群與模型式分群為 HFpEF 病人分出 3 個表型群，並在驗證世代重現。
Chicco D, Jurman G. BMC Med Inform Decis Mak 2020;20:16 — 本章心衰竭資料集的機器學習分析論文。

第 8 章 K-平均分群（K-Means Clustering）¶