卡方檢定與 Fisher's exact test

這個方法在解決什麼問題

兩個變項都是類別（吸菸 / 不吸菸、低體重 / 正常體重），資料整理成一張列聯表（contingency table）。問題是：表格裡的分布，跟「兩個變項毫無關聯」的情況比起來，差得夠多嗎？

卡方檢定（chi-square test）把這個問題變成一道算術。先算出「如果兩變項獨立，每一格應該有幾個人」——用邊際比例乘回去：

再把每一格的偏離加總：

分母那個 $E_{ij}$ 是關鍵：同樣差 5 個人，在期望值 100 的格子裡不算什麼，在期望值 6 的格子裡是大事。這個統計量在虛無假設下近似服從自由度 $(r-1)(c-1)$ 的卡方分布——注意「近似」兩個字，本頁後面的爭論全部由它而來。

本頁的例子是 MASS::birthwt：189 位產婦，看產婦吸菸與新生兒低出生體重（< 2500 g）這兩個二元變項有沒有關聯。

動手跑一次

library(MASS)
data(birthwt, package = "MASS")

birthwt$smoke_f <- factor(birthwt$smoke, levels = c(0, 1),
                          labels = c("Non-smoker", "Smoker"))
birthwt$low_f   <- factor(birthwt$low, levels = c(0, 1),
                          labels = c(">= 2500 g", "< 2500 g"))

tb <- table(birthwt$smoke_f, birthwt$low_f)
tb

cs <- chisq.test(tb)      # 2x2 預設帶 Yates 校正
cs
cs$expected               # ← 先看這個再決定用哪個檢定
chisq.test(tb, correct = FALSE)

fisher.test(tb)           # 精確檢定，同時給 OR 與其信賴區間

# 效果量：卡方本身沒有效果量。
# phi 要用「未校正」的統計量算，所以這裡不能沿用 cs。
sqrt(chisq.test(tb, correct = FALSE)$statistic / sum(tb))   # phi（2x2 的 Cramér's V）

# 配對的類別資料要換方法（同一批人測兩次）
approval <- matrix(c(794, 86, 150, 570), nrow = 2)
mcnemar.test(approval)

import statsmodels.api as sm
import numpy as np
from scipy import stats
from statsmodels.stats.contingency_tables import mcnemar, Table2x2

bw = sm.datasets.get_rdataset("birthwt", "MASS").data
tb = np.array([[sum((bw.smoke == 0) & (bw.low == 0)), sum((bw.smoke == 0) & (bw.low == 1))],
               [sum((bw.smoke == 1) & (bw.low == 0)), sum((bw.smoke == 1) & (bw.low == 1))]])

chi2, p, dof, expected = stats.chi2_contingency(tb)      # correction=True by default
print(expected)                                          # ← 先看期望次數
stats.fisher_exact(tb)

t2 = Table2x2(tb)
print(t2.oddsratio, t2.oddsratio_confint())

mcnemar(np.array([[794, 150], [86, 570]]), exact=False, correction=True)

這張表怎麼讀

吸菸組 30/74 = 40.5% 生出低體重兒，未吸菸組 29/115 = 25.2%。

三種常見的效果量各有適用場合：

• 相對風險 RR：世代研究與 RCT 用，直接是兩個風險的比值，最好解讀。
• 勝算比 OR：病例對照研究只能算 OR（設計本身固定了病例與對照的人數，風險算不出來），邏輯迴歸的係數也是 OR。罕見結果時 OR 近似 RR，本頁這種 25% 的常見結果則會明顯高估（2.02 vs 1.61）。
• Cramér’s V：$r \times c$ 的表格用，範圍 0–1，不帶方向，適合描述關聯強度但臨床上不好解讀。

期望次數 5 這條線

規則通常被記成「任何一格的期望次數小於 5 就不能用卡方」。原始版本比這寬鬆：Cochran 在 1950 年代建議的是所有期望次數都 ≥ 1，且期望次數 < 5 的格子不超過全部格子的 20%。對 2×2 表來說，20% 不到一格，所以才退化成「一格都不能低於 5」。

要記住三件事：

• 它是經驗法則，不是定理。 5 這個數字沒有理論推導，它來自 1950 年代對卡方分布近似程度的數值檢查。
• 它管的是「近似」而不是「資料」。 期望次數小的時候，$\chi^2$ 統計量的分布是離散的、跳躍的，用連續的卡方分布去逼近就不準。這與資料本身好不好無關。
• 看的是期望次數，不是觀察次數。 觀察到 0 個人的格子不必然違規；期望次數 4.2 的格子即使觀察到更多人也算違規。所以 chisq.test() 之後第一件事是印 $expected。

同一份資料裡就有現成的例子。把分析限縮在 race == Black 這個分層（n = 26）：

最小期望次數掉到 4.2，違反了規則。三種算法給的 p 值分別是：未校正 Pearson 0.149、Fisher’s exact 0.228、Yates 校正 0.300——在這張表上最保守的是 Yates 校正，未校正的 Pearson 最不保守。要注意的是 Fisher 並不保證在每個資料集都比 Yates 保守；後面兩節用模擬談的是兩者平均而言都落在名目水準以下這件事，不是它們之間有固定的先後。OR 的信賴區間寬到 0.63–17.16。三種算法都未達統計顯著，但真正該說的是這個分層的樣本數根本不足以偵測任何中等大小的關聯——信賴區間的寬度講的就是這件事，p 值講不出來。

Fisher’s exact test 什麼時候用

Fisher’s exact test 不做近似。它固定住兩邊的邊際總數，直接把「在這些邊際下所有可能的表格」列舉出來，用超幾何分布算出「至少這麼極端」的機率。因為不依賴大樣本近似，期望次數再小都成立。

用它的時機：

• 任何一格的期望次數低於 5（或表格總數很小）。
• 表格裡有 0。
• 樣本數小到你會擔心近似的時候——現代電腦下 2×2 的 Fisher 幾乎免費，沒有理由為了省計算而用近似。

Yates 校正的爭議

Yates 連續性校正把每一格的偏離先減 0.5 再平方：

用意是彌補「用連續分布逼近離散統計量」造成的偏差。R 的 chisq.test() 對 2×2 表預設開啟它，這也是為什麼同一份資料你用 R 與用某些軟體會得到不同的 p 值（本頁的例子：0.026 vs 0.040）。

爭議在於它校正過頭。用模擬把三種檢定放在虛無假設為真的情境下跑（兩組真實風險都是 20%，每個點 3000 次），看它們實際上多常宣告顯著——理想值是 0.05：

結果違反直覺但很一致：未校正的 Pearson 卡方在每組 15 人以上就已經貼著 0.05，而 Yates 與 Fisher 一路低於名目值——連每組 200 人時仍然只有 0.034 與 0.034。型一錯誤率低於名目值不是好事：它意味著你放棄了本來就付了樣本數代價買到的檢定力。

這是統計學裡少數幾個「教科書的標準建議與模擬結果對不上」的地方。務實的處理方式：

• 報告要寫明用了哪一種（未校正卡方 / Yates / Fisher），不要讓讀者猜。
• 樣本數夠時（期望次數都 ≥ 5），未校正的 Pearson 卡方是合理的預設。
• 樣本數小時，Fisher 是安全的選擇——它保守，但保守的方向是不會製造假陽性；此時真正的問題通常是檢定力不足，而不是選哪個檢定。
• 不論選哪個，都要報效果量與信賴區間。 上面整張爭論只影響第三位小數的 p 值，不影響 OR 是 2 還是 20。

配對的類別資料要用 McNemar

同一批人測兩次（治療前後、兩種診斷工具比較、配對設計的病例對照），資料看起來還是 2×2，但格子的意義完全不同：現在每一格是「同一個人的兩次結果」。

拿 R 說明文件裡那個經典例子（1600 位受訪者在兩個時點被問同一個問題）：

對角線上的人（兩次答案一樣）對「有沒有改變」這個問題完全沒有貢獻。 資訊全在兩個不一致格（discordant cells）：150 人從贊成轉不贊成、86 人從不贊成轉贊成。McNemar 檢定就只拿這兩個數字：

這個式子算出來是 $\chi^2$ = 17.36，p = < 0.001。R 的 mcnemar.test() 預設會做連續性校正——$(|b - c| - 1)^2 / (b + c)$——所以它印出來的是 $\chi^2$ = 16.82，p = < 0.001；精確二項版本則是 p = < 0.001。這裡三個版本結論一致，但上面那個公式是未校正版，看到論文引用時要先確認它報的是哪一個再去對數字。

如果誤把它當獨立樣本丟給卡方檢定，會得到 $\chi^2$ = 785.5、p = < 0.001——一個天文數字般的顯著結果，但它檢定的是完全不同的虛無假設（同一位受訪者的第一次回答與第二次回答互相獨立），而那個假設本來就荒謬：同一個人的兩次回答當然相關。看到極端顯著的 p 值先想「這個檢定在問什麼」，往往比想「差異多大」更快抓到錯誤。

常見誤用

重跑本頁的所有數字

/opt/homebrew/bin/Rscript figures/scripts/B1-03-chi-square.R

延伸觀看

▶醫學統計 EP12 卡方檢定

▶醫學統計 EP15 RR vs OR

▶醫學統計 EP02 變數類型

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