條件式邏輯迴歸

這個模型在解決什麼問題

配對（matching）是設計階段用來對付干擾的手段。做法是替每個 case 挑一或多個在指定變項上 （年齡、性別、就診年份、同一家醫院）與他相同或相近的 control，讓那些變項在設計上就不可能造成偏差。

但配對是一個要付利息的決定。 資料一旦配對，各個配對組（matched set）內部的人就不再彼此獨立， 而一般邏輯迴歸假設全部觀察值獨立。 把配對好的資料丟進 glm(..., family = binomial)，等於把配對這件事整個丟掉。

條件式邏輯迴歸（conditional logistic regression）的做法是：只在配對組內部比較， 不讓不同組的人互相比較。技術上是把每一組自己的截距（也就是「這一組整體有多容易成為 case」） 從概似函數裡條件掉——這也是它叫「條件式」的原因。

一個有 $M$ 個 control 的配對組，對概似函數的貢獻是「這一組裡偏偏是這個人成為 case」的機率：

這一條式子把本頁後面三件事全部解釋掉了，值得先記住它長什麼樣子：分子只有 case， 分母是整組人，而組別本身完全沒有出現在式子裡。

這一頁的例子

datasets::infert 是一份繼發性不孕症的配對病例對照研究，隨 R 本體一起出貨，不必安裝任何套件。 248 列、83 個配對組、每組恰好一個 case， 配對變項是年齡、產次與教育程度。暴露是自發性流產（spontaneous）與人工流產（induced）的次數。

同一份資料也是病例對照研究那一章的例子。 那一章講的是設計本身；這一頁只講模型。

library(survival)
data(infert)

# 正確的模型：分層項就是配對組
cond <- clogit(case ~ spontaneous + induced + strata(stratum), data = infert)
summary(cond)

# 錯誤的模型：右邊完全一樣，只是把配對丟掉
naive <- glm(case ~ spontaneous + induced, data = infert, family = binomial)
exp(cbind(OR = coef(naive), confint.default(naive)))

# 把配對變項放回模型，看看會發生什麼事
clogit(case ~ spontaneous + induced + age + parity + strata(stratum), data = infert)

import numpy as np
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.discrete.conditional_models import ConditionalLogit

inf = sm.datasets.get_rdataset("infert").data

X = inf[["spontaneous", "induced"]]
cond = ConditionalLogit(inf["case"], X, groups=inf["stratum"]).fit()
print(cond.summary())
print(np.exp(cond.params))          # 條件 OR

# 忽略配對的版本，用來對照
naive = sm.Logit(inf["case"], sm.add_constant(X)).fit()
print(np.exp(naive.params))

忽略配對會發生什麼事

兩個模型的右邊一模一樣，唯一的差別是有沒有 strata(stratum)。 這樣比較才乾淨：任何差異都只能歸給「有沒有尊重配對」，不會混進「多放了一個共變項」。

自發性流產的 OR 從條件式的 7.285 掉到 3.311，差了一倍以上，而且是往 1 的方向掉。 人工流產同樣往 1 掉（4.092 → 1.519）。 這個方向不是巧合：配對讓 case 與 control 在配對變項上長得像， 如果把那些人混在一起當成獨立樣本比較，暴露與結果的關聯就會被稀釋。

strata() 到底在做什麼

回到上面那條概似函數。把它看成一個比賽：組裡每個人依 $\exp(\beta^{\top}x)$ 拿到一個分數， 式子問的是「分數這樣分配之下，偏偏是 case 那個人中選的機率」。

如果一整組人的暴露完全相同，每個人的分數就一樣，那個機率永遠是 $1/(M+1)$， 不管 $\beta$ 是多少。 這樣的組對概似函數是一個常數，對估計的貢獻是 0，不是「很少」。

這件事可以直接量。本頁主模型（spontaneous + induced，兩個都是次數）底下， 一組要完全沒有貢獻，條件是組內每個人的兩個次數都一樣。 83 個配對組裡有 7 組符合， 剩下 76 組 （228 列）才帶得動估計。

把那 7 組整個刪掉再配一次：

係數與標準誤的最大差距分別是 1.1e-15 與 5.6e-16——那是浮點數的機器精度，不是真的差異。 那 7 組完全沒有進到答案裡。

下面這張圖畫的不是主模型，而是一個看得懂的簡化版： clogit(case ~ spont_any + strata(stratum))。它和主模型差兩件事—— 暴露壓成二元（有過／沒有過自發性流產），而且 induced 不在模型裡。 條件放寬了，符合「整組相同」的組數就多了： 28 組整組相同、 55 組有變異。 道理一樣，只是這個版本畫得出來（一格塗色或不塗色），而次數畫不出來。 在這個簡化模型上，全部組與只用有變異的組配出來的係數都是 1.653873。

配對變項不可以再放進模型

這是配對分析最容易犯、也最難自己發現的錯。看看把配對變項加回去會怎樣：

沒有加任何配對變項時，spontaneous 的係數是 1.98587552， log-likelihood 是 -64.20223692。 上表每一列都與它完全相同：最大變化量是 0（係數）與 0（log-likelihood）。 不是「接近」，是 0。

原因還是那條概似函數。配對變項在組內是常數，$\exp(\beta^{\top}x)$ 裡屬於它的那一項 在分子與分母同時出現、同時約掉，所以它根本沒有辦法改變任何東西。 資料裡沒有任何資訊可以用來估它。

1:1 配對時，它與 McNemar 的關係

配對成 1:1（每個 case 一個 control）而暴露是二元時，條件式邏輯迴歸會退化成一個手算得出來的東西。

把每一對按「case 有沒有暴露」乘「control 有沒有暴露」分成四格：

對角線上那 37 對，兩個人的暴露一樣， 依上一節的道理對估計沒有貢獻。剩下 46 對不一致對（discordant pairs） 就是全部的資訊，而條件 OR 正好是這兩格的比值：

實際跑出來：38 除以 8 等於 4.750， 而 clogit() 給的 OR 是 4.750。 兩者相差 1.8e-8， 那是最佳化演算法的收斂容差，不是真的差異。

反過來說，這也是為什麼多數情況下不該只做 McNemar。 McNemar 只吃一個二元暴露，沒有辦法校正其他變項，也處理不了 1:M 配對或連續型暴露。 條件式邏輯迴歸做得到全部這些，而在 McNemar 適用的那個特例上又給出同一個答案。

常見誤用

重跑本頁的所有數字

/opt/homebrew/bin/Rscript figures/scripts/B2-10-conditional-logistic.R

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