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邏輯迴歸與勝算比

OR 到底是什麼比值、結果不罕見的時候它為什麼一定會誇大、校正後的 OR 與粗 OR 差在哪裡（不只是干擾）、完全分離長什麼樣子怎麼修，以及 EPV 至少 10 這個規矩的來歷與它被質疑的地方。

這個模型在解決什麼問題

臨床研究裡第二大類的結果變項是二元的：有沒有低出生體重、有沒有院內感染、三十天內有沒有再入院、術後有沒有併發症。

直接用線性迴歸跑 0/1 結果，會壞在兩個地方：預測值跑出 0–1 之外（負的機率沒有意義），以及殘差的變異數隨預測機率變動（0/1 變項的變異數是 $p(1-p)$ ，本來就不是常數）。

邏輯迴歸（logistic regression）的解法是先換一個尺度。把機率 $p$ 換成勝算（odds） $p/(1-p)$ ，再取對數，範圍就從 $[0,1]$ 展開成整條實數線，然後在那個尺度上做線性模型：

\log \frac{p}{1-p} = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_k x_k

於是每個 $\beta$ 的意思是「其他變項固定時， $x$ 每增加一單位，log-odds 增加 $\beta$ 」，取指數之後 $\exp(\beta)$ 就是勝算比（odds ratio, OR）——這個模型會生出 OR 而不是 RR，不是誰選的，是模型結構決定的。

這一頁的例子

沿用線性迴歸那一頁的 MASS::birthwt，但把結果換成二元的 low：新生兒體重是否低於 2500 g。 189 位產婦中有 59 個低出生體重，盛行率 31.2%。

這個盛行率是刻意選的。 它遠遠不算罕見，所以 OR 與 RR 會在同一張表上明顯分家—— 那正是下一節要看的東西。

library(MASS)
data(birthwt, package = "MASS")

bw <- birthwt
bw$race_f  <- factor(bw$race,  levels = 1:3, labels = c("White", "Black", "Other"))
bw$smoke_f <- factor(bw$smoke, levels = 0:1, labels = c("No", "Yes"))
bw$ptl_any <- as.integer(bw$ptl > 0)

# 粗 OR：一個變項
fit_c <- glm(low ~ smoke_f, data = bw, family = binomial)
exp(cbind(OR = coef(fit_c), confint.default(fit_c)))

# 同一張 2x2 的 RR，要自己算——glm 不會給你
tb <- table(bw$smoke_f, bw$low)
(tb[2, 2] / sum(tb[2, ])) / (tb[1, 2] / sum(tb[1, ]))

# 校正後的 OR
fit <- glm(low ~ smoke_f + age + lwt + race_f + ht + ui + ptl_any,
           data = bw, family = binomial)
summary(fit)
exp(cbind(OR = coef(fit), confint.default(fit)))   # Wald，論文格式

# 完全分離長什麼樣子：把 ptl 當成四個 level 的因子
summary(glm(low ~ smoke_f + factor(ptl), data = bw, family = binomial))

驗證環境：R 4.6.0 + MASS 7.3.65。confint() 對 glm 給的是 profile likelihood 區間，論文慣用的 Wald 區間要用 confint.default()。

import numpy as np
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf

bw = sm.datasets.get_rdataset("birthwt", "MASS").data
bw["race_f"]  = bw["race"].map({1: "White", 2: "Black", 3: "Other"})
bw["smoke_f"] = bw["smoke"].map({0: "No", 1: "Yes"})
bw["ptl_any"] = (bw["ptl"] > 0).astype(int)

fit = smf.logit(
    "low ~ C(smoke_f) + age + lwt + C(race_f) + ht + ui + ptl_any", data=bw).fit()
print(fit.summary())
print(np.exp(fit.params))          # OR
print(np.exp(fit.conf_int()))      # 95% CI，Wald

# 分離時 statsmodels 會丟 PerfectSeparationWarning，比 R 的沉默好一點

statsmodels 的 Logit 與 GLM(family=Binomial()) 結果相同；前者的報表較接近 R 的 summary()。

粗 OR 與 RR：同一張 2×2，兩個答案

先不跑模型，用手算。抽菸與低出生體重的 2×2：

	低出生體重	正常	合計	風險	勝算
抽菸	30	44	74	40.5%	0.682
未抽菸	29	86	115	25.2%	0.337

相對風險（risk ratio, RR）＝兩個風險相除＝ 1.608（1.06–2.44）
勝算比（odds ratio, OR）＝兩個勝算相除＝ 2.022（1.08–3.78）

同一張表，同一組人，兩個數字差了將近三成。如果把這個 OR 唸成「風險增加一倍」，就把效果誇大了。 實際上風險從 25.2% 上升到 40.5%。

曲線圖，橫軸是未暴露組的風險百分比，縱軸是固定 OR 之下對應的相對風險。曲線從左上往右下遞減，在風險很低時貼近 OR = 2.02 的水平虛線，隨著風險上升逐漸遠離。圖上以實心點標出本頁資料的位置：未暴露組風險 25.2%、對應的相對風險 1.61，點旁標著 birthwt: RR = 1.61；另有一條垂直虛線畫在全體低出生體重的比例 31.2% 處。 — OR 固定不動，只改變未暴露組的基線風險。結果罕見時 RR 幾乎等於 OR；結果常見時 OR 一定比 RR 遠離 1。本頁的例子落在圖上那個標記點。產圖腳本 `figures/scripts/B2-02-logistic.R`

道理是代數上的必然，不是巧合。給定 OR 與未暴露組風險 $p_0$ ，暴露組風險是

p_1 = \frac{\mathrm{OR} \cdot p_0 / (1-p_0)}{1 + \mathrm{OR} \cdot p_0 / (1-p_0)} \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{RR} = \frac{p_1}{p_0}

把本頁的 OR 固定住，換不同的基線風險：

未暴露組的風險	這個 OR 對應的 RR
1%	2.001
5%	1.924
20%	1.679
40%	1.435

什麼時候可以把 OR 當 RR 讀：只有結果罕見的時候。

常見的門檻說法是未暴露組風險低於 10%。這個「罕見疾病假設」是近似不是等式：本頁的資料基線風險 25.2%，OR 高估 RR 的幅度已經明顯。

三個實務後果：

病例對照研究只能報 OR（分母是研究者選的），所以罕見疾病假設在那裡特別重要，細節見病例對照研究——那一章的 OR 是本方法的直接應用。
世代研究與 RCT 有分母，可以直接算 RR 或風險差。 這時候還報 OR，是把可以直接回答的問題換成一個需要額外假設才能解讀的量。想要校正後的 RR，可以用 log-binomial 迴歸或 Poisson 迴歸配穩健標準誤（見校正後的相對風險）。
看到「風險增加 N 倍」先確認那個數字是 RR 還是 OR，並且問這個結果有多常見。結果越常見，同一個 OR 被誤讀成 RR 的誤差越大。

校正後的 OR

森林圖，八個變項的校正後勝算比與 95% 信賴區間。五個變項的區間不跨過 1：抽菸、族裔為黑人、高血壓病史、曾早產（勝算比都大於 1，橫線整段落在虛線右側），以及產婦體重（勝算比 0.985，橫線整段落在虛線左側，是圖上唯一落在 1 以下的變項）。三個變項的區間跨過 1：年齡、子宮易激性、族裔為其他。 — 八變項邏輯迴歸的校正後 OR。虛線是 OR = 1。橫線跨過虛線表示本研究未偵測到該變項與低出生體重的關聯。產圖腳本 `figures/scripts/B2-02-logistic.R`

變項	校正後 OR	95% CI	p
Smoking during pregnancy	2.33	1.048–5.187	0.038
Age, per year	0.96	0.894–1.037	0.318
Mother's weight, per lb	0.99	0.972–0.999	0.034
Race: Black vs White	3.36	1.184–9.548	0.023
Race: Other vs White	2.23	0.928–5.382	0.073
History of hypertension	6.29	1.585–24.954	0.009
Uterine irritability	2.04	0.822–5.047	0.125
Previous preterm labour	3.39	1.369–8.408	0.008

抽菸的 OR 從粗的 2.022 變成校正後的 2.331。

大部分教科書會說「差別來自干擾因子」。這裡有一半是，但另一半不是，而後者幾乎沒有人講：

OR 不可塌縮（non-collapsibility）。

就算完全沒有干擾——暴露與所有共變項獨立——條件 OR 與邊際 OR 仍然不會相等，而且條件 OR 一定離 1 更遠。原因是 logit 這個轉換不是線性的，把不同風險層的人平均起來，平均的不是同一個尺度上的東西。

RR 與風險差沒有這個性質，HR 有（程度較輕）。實務後果有三個：

「校正後 OR 變大」不能自動解讀成「原本被干擾掩蓋了」。 至少有一部分是這個代數性質造成的。
不同模型的 OR 不能直接比大小——放的變項不同，條件的層次就不同，兩個 OR 定義的對比也不同。這與 Cox 模型 HR 的道理相同。
想要一個可以在族群層次解讀的效果量（例如要算 NNT），應該報邊際估計：標準化 / G-computation 或加權，而不是直接拿模型的 OR。做法見邊際估計與 G-computation。

其餘幾欄怎麼讀，與線性迴歸相同：連續變項的 OR 一定要寫單位（年齡的 OR 0.963 是每一歲）；信賴區間跨過 1 的變項要寫成「本研究未偵測到關聯」而不是「無關」；整體模型檢定（likelihood ratio 37.8，df = 8，p < 0.001）問的是「全部係數同時為 0 嗎」。

完全分離

有時候 glm() 會給出一個看起來很戲劇化的係數，配一個荒謬的標準誤。這通常不是資料很強，而是分離（separation）：某個變項把結果完美（或幾乎完美）切開了。

這份資料裡就有現成的例子，不必人工製造。把「先前早產次數」ptl 當成四個 level 的因子：

先前早產次數	正常體重	低出生體重
0	118	41
1	8	16
2	3	2
3	1	0

最後一列只有 1 個人，而她沒有低出生體重的嬰兒。這一格是 0，於是「早產 3 次」這個 level 在資料裡與「不會發生低出生體重」完全同義。模型的反應是：

項	係數	標準誤	p
(Intercept)	-1.28	0.23	< 0.001
smoke_fYes	0.58	0.34	0.087
ptl_f1	1.65	0.48	< 0.001
ptl_f2	0.52	0.94	0.582
ptl_f3	-13.86	882.74	0.987

分離的症狀，照出現的順序：

某個係數的絕對值大得離譜（這裡是 -13.86，對應的 OR 約 9.5e-7，也就是百萬分之一的量級），而標準誤大到荒謬（883）。
信賴區間寬到沒有資訊，p 值接近 1——不是因為沒有效果，是因為完全估不出來。
決定性的檢查：把最大疊代次數調大重跑，係數會繼續跑。 這裡從 -13.86 變成 -22.86。真正的最大概似估計不會因為多跑幾圈就改變——它會這樣跑，是因為那個估計值根本不存在，概似函數在無限遠處才逼近最大值。R 不會為此報錯，最多給一句 fitted probabilities numerically 0 or 1 occurred，而那句話很容易被當成雜訊略過。

處理方式，由簡到繁：

合併稀疏的類別。 這裡把「2 次」與「3 次以上」併成「2 次以上」就解決了：合併後 OR 1.21（0.21–7.03），是一個可以解讀的估計。多數情況這是最誠實的做法——那個 level 本來就沒有足夠的人。
Firth 懲罰概似（logistf 套件）。它對概似函數加一個罰項，保證估計值有限，是小樣本與罕見事件的標準建議。
精確邏輯迴歸（exact logistic regression），樣本很小時可行，計算量隨資料增長很快。
不要只是把那個變項刪掉不提，也不要照著報那個 OR。

EPV：每個變項至少 10 個事件

邏輯迴歸能放幾個變項，取決於事件數而不是樣本數。本頁的模型有 59 個事件、8 個參數， EPV（events per variable）＝ 7.38。

這條規矩哪來的，以及它為什麼被質疑。

「每個變項至少 10 個事件」出自 1990 年代 Peduzzi 等人的模擬研究：EPV 低於 10 時，係數會偏離、標準誤被低估、信賴區間的覆蓋率掉到名目水準以下。這條規則好記，於是變成了審稿意見的常客。

後來的模擬（2010 年代起）發現它兩邊都不準：

有時候太寬鬆。 EPV 10 在預測模型的情境下往往不夠——樣本外的表現仍然過度樂觀。現在的建議改成依「需要的收縮量（shrinkage）」與結果的盛行率去算所需樣本數，而不是套一個固定倍數。
有時候太嚴格。 若共變項與暴露的相關度低、且不追求校準良好的預測， EPV 5 附近的偏誤未必嚴重。

所以本頁的模型（EPV 7.38）該怎麼講？ 誠實的寫法是：按舊規則它低於門檻（59 個事件在 EPV 10 之下只夠 5 個參數），所以係數與信賴區間應該視為探索性的；同時說明 EPV 10 本身是經驗法則而非定理。

不該做的是：先跑一遍看哪些變項顯著、再把不顯著的刪掉湊出「合格」的 EPV。 那會讓 p 值失效，理由見迴歸模型診斷談逐步迴歸的那一節。

常見誤用

誤用	為什麼錯
把 OR 讀成 RR，而結果並不罕見	OR 一定比 RR 遠離 1，結果越常見差越多
世代研究 / RCT 有分母卻只報 OR	可以直接報 RR 或風險差；報 OR 等於多要一個假設
把「校正後 OR 變大」全部歸給干擾	OR 不可塌縮，條件 OR 本來就離 1 更遠
直接比較兩篇論文的 OR 大小	校正的變項不同，兩個 OR 定義的對比就不同
拿模型的 OR 去算 NNT 或族群層次的影響	需要邊際估計（標準化 / G-computation），不是條件 OR
報連續變項的 OR 卻不寫單位	每一歲與每十歲的 OR 完全不同
出現分離仍照樣報那個巨大的 OR	該估計值不存在；要合併類別或用 Firth
把 `fitted probabilities numerically 0 or 1` 當雜訊略過	那通常就是分離的唯一警告
事件數不多卻放進大量共變項	過度配適，係數與區間都不可信
先看顯著性再決定放哪些變項	選擇後的 p 值與信賴區間失效
用 OR 大小當「重要性」排序	尺度取決於變項單位與分布，不是重要性
配對的病例對照用普通邏輯迴歸	要用條件式邏輯迴歸，見病例對照研究
信賴區間跨過 1 還描述效果大小	應寫「未偵測到顯著關聯」並附上區間

重跑本頁的所有數字

/opt/homebrew/bin/Rscript figures/scripts/B2-02-logistic.R

讀讀看這張圖

答案取自產生本頁圖表的同一份統計輸出，不是另外打上去的。

這份資料裡低出生體重並不罕見，粗 odds ratio 是 2.02。可以說「抽菸讓風險變成兩倍」嗎？

看答案與解析

正確答案: 不行，風險比其實是 1.61——結果不罕見時 OR 會比 RR 更遠離一

風險比是 1.61，odds ratio 是 2.02，兩者相差不小，因為這個結果一點也不罕見。OR 與 RR 只有在結果很罕見時才會接近，盛行率越高、兩者差距越大，而 OR 永遠偏離一更遠。把 OR 直接讀成「風險是幾倍」會誇大效果，而摘要裡經常就是這樣寫的。3.78 是 OR 的信賴區間上界，它描述的是不確定性，不是另一種效果量。

校正年齡、母親體重與族群之後，抽菸的 odds ratio 從 2.02 變成另一個數字。校正做了什麼？

看答案與解析

正確答案: 變成 2.33——校正可以往任何方向移動估計，這裡是往外

校正後的 OR 是 2.33，比粗估的 2.02 更遠離一。「校正會把數字往一拉」是很常見的直覺，但它不成立：移動的方向取決於共變項跟暴露、跟結果各自的關係，往外、往內、甚至換邊都可能。3.36 是同一個模型裡族群那一列，不是抽菸的。看到校正前後的兩個數字時，該問的是哪些變項進了模型、為什麼，而不是預期它往哪邊走。

抽菸組 74 人中有 30 人生下低出生體重的嬰兒。抽菸組的風險是多少？

看答案與解析

正確答案: 0.405——分母是同組的全部人數

風險的分母是全部的人，所以是 0.405。0.682 是同一組的 odds：分母只有沒發生事件的人，所以它永遠比風險大。事件不罕見時這兩個數字差很多，而 logistic regression 直接給你的是 odds 那一邊——這就是為什麼從 logistic 模型講「風險」之前必須先換算。0.252 是不抽菸組的風險，讀錯了列。

用到這個方法的章節

延伸觀看

ENStatQuest with Josh Starmer· 9 min九分鐘建立直覺：為什麼要把機率換成 log-odds、那條 S 形曲線從哪來。讀本頁「這個模型在解決什麼問題」那一節前先看。

ENStatQuest with Josh Starmer· 19 min專講「係數怎麼變成 OR」，正好是本頁第四、五節在讀的那幾欄。

繁中EDMAN MURMURS· 13 min繁中、臨床醫師視角的完整一集，術語的中文說法在這裡有對照。

繁中EDMAN MURMURS· 11 min繁中唯一正面處理 RR 與 OR 差異的一集，對應本頁「粗 OR 與 RR」那一節。

繁中MeDA School（洪弘）· 45 min繁中、研究所級的 R 實作，想把整個流程跟著敲一遍再看這支。

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