ANCOVA、變化量與只看追蹤值

這個問題長什麼樣子

臨床試驗最常見的結構之一是前後測：每個人在隨機分配前量一次（基線），治療結束後再量一次 （追蹤）。血壓、體重、HbA1c、疼痛分數、憂鬱量表，全部都是這個形狀。

拿到這樣的資料，分析的人面前有三條路：

1. 變化量分析（change score）——算每個人的「追蹤減基線」，再比較各組的平均變化量
2. ANCOVA（analysis of covariance，共變數分析）——用追蹤值當結果，把基線值當共變項放進 線性迴歸
3. 只看追蹤值（follow-up only）——完全不理基線，直接比較各組的追蹤平均

三條路都在估「同一個治療效果」，但估得準不準差很多。而且它們的差別可以寫成同一個模型：

只看追蹤值等於把 $\beta$ 釘死在 0；變化量分析等於把 $\beta$ 釘死在 1 （把 $Y_{\text{基線}}$ 移到左邊就變成變化量）；ANCOVA 是讓資料自己決定 $\beta$。 本頁其餘部分都在談這一件事的後果。

這一頁的例子

MASS::anorexia 是 72 位厭食症年輕女性的體重，治療前後各量一次（單位是磅）。 三組：CBT（認知行為治療） 29 人、對照組 26 人、 家族治療 17 人，參考組是 CBT。一行就能取得，不必申請任何資料庫權限。

全體的前後測相關係數是 0.332。這個數字偏低， 而它會決定本頁後半所有的效率比較，所以先把它記住。

library(MASS)
data(anorexia, package = "MASS")

a <- anorexia
a$change <- a$Postwt - a$Prewt

# 1. 變化量分析
summary(lm(change ~ Treat, data = a))

# 2. ANCOVA：追蹤值當結果，基線當共變項
summary(lm(Postwt ~ Prewt + Treat, data = a))

# 3. 只看追蹤值
summary(lm(Postwt ~ Treat, data = a))

# 三者的差別全在基線的係數上：ANCOVA 估它，另外兩個把它釘死
cor(a$Prewt, a$Postwt)

# 迴歸到平均：只在沒有接受治療的對照組裡看
co <- subset(a, Treat == "Cont")
tapply(co$change, co$Prewt <= median(co$Prewt), mean)

import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf

a = sm.datasets.get_rdataset("anorexia", "MASS").data
a["change"] = a["Postwt"] - a["Prewt"]

print(smf.ols("change ~ C(Treat)", data=a).fit().summary())          # 變化量
print(smf.ols("Postwt ~ Prewt + C(Treat)", data=a).fit().summary())  # ANCOVA
print(smf.ols("Postwt ~ C(Treat)", data=a).fit().summary())          # 只看追蹤值

print(a[["Prewt", "Postwt"]].corr())

三種做法，同一份資料

先講最容易被講歪的一件事。變化量分析在兩個對比上的 p 值分別是 0.094 與 0.068， 在 0.05 的水準下未達統計顯著；ANCOVA 的兩個 p 值則低於 0.05。

這不代表變化量分析「證明了沒有效果」，也不是「換個方法就做出顯著」的成功故事。 三種做法的點估計其實相當接近——對照組的三個估計落在 -4.59 到 -3.46 之間， 彼此的差距還不到一個標準誤。真正在動的是標準誤：

• 對照組的對比，SE 由大到小是變化量 2.03、 只看追蹤值 1.97、ANCOVA 1.89
• 家族治療的對比順序相同：2.30、 2.23、2.13

ANCOVA 在這份資料上確實是三者中最精確的。 但要注意幅度：它比只看追蹤值只窄了 3.8%（對照組的對比）， 比變化量分析窄 6.9%。 在這種量級之下，p 值跨不跨過 0.05 是一件很脆弱的事，不值得當成結論來講。 效率的差距為什麼這麼小，下一節與第五節分別回答。

為什麼隨機化試驗慣用 ANCOVA

線索在基線那一項的係數上。ANCOVA 估出來的 $\hat\beta$ ＝ 0.434 （SE 0.161，95% CI 0.11–0.76）。

拿它去對兩個「被釘死的值」各做一次檢定：

兩個假設都被這份資料拒絕了。 基線與追蹤明顯有關（所以不能當它不存在）， 但關聯遠遠沒有到一比一（所以也不能直接相減）。ANCOVA 在這份資料上效率最好， 就是因為它不必事先猜這個係數——它從資料裡估。 （它是不是永遠最好，是下一節的問題，答案不是「是」。）

效率的差距隨相關係數怎麼變

教科書常說「前後測相關越高，ANCOVA 越有利」。這句話沒有辦法用一份資料驗證， 因為一份資料只有一個相關係數。所以這一節改用模擬：固定樣本數與真實效果， 只讓相關係數從 0 掃到 0.9。

參數是 每組 36 人（合計剛好等於 anorexia 的 72 人）、 真實差異 0.5 個標準差、 每個格點重複 2000 次、 $\alpha$ ＝ 0.05、seed 固定為 20260823。

三件事，照實講：

• 變化量分析在 19 個格點裡，一個都沒有贏過 ANCOVA （精確地說是 0 個）。 它與只看追蹤值的交叉點落在相關係數 0.50， 相關低於這個值時，做變化量分析比乾脆不看基線還糟。
• ANCOVA 也不是每個格點都最好。 它在 19 個格點裡贏了 16 個； 相關係數等於 0.00、0.05、0.10 時， 只看追蹤值的 SE 反而略小（相關為 0 時是 0.235 對 0.237）。原因很單純：ANCOVA 多估了一個參數， 當那個參數其實沒有用時，那個自由度就是白花的。差距很小，但它是真的。
• anorexia 的相關落在 0.332， 離模擬格點最近的是 0.35。在那裡 ANCOVA 的 SE （0.222）只比只看追蹤值 （0.235）好一點點—— 這正是本頁第三節那個「只窄了幾個百分點」的來源。

迴歸到平均

迴歸到平均（regression to the mean）是指：因為每次測量都帶有隨機成分， 基線量到特別低的人，下一次量通常會高一些；基線特別高的，下一次通常會低一些。 這不需要任何治療，也不需要任何真實的變化，光靠測量的隨機性就會發生。

最乾淨的觀察位置是沒有接受治療的對照組。把對照組依基線體重中位數 （80.65 磅）切成兩半：

基線較輕的一半平均增加 3.85 磅， 基線較重的一半平均減少 4.75 磅， 兩者相差 8.61 磅 （Welch t ＝ 3.22，p ＝ 0.004）。 而整個對照組的平均變化量只有 -0.45 磅—— 這些人沒有接受任何治療。

常見誤用

重跑本頁的所有數字

/opt/homebrew/bin/Rscript figures/scripts/B2-12-ancova.R

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