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線性迴歸

「其他變項固定時」這句話實際上固定了什麼、R² 高為什麼不等於模型有用、連續變項的線性是假設不是事實，以及換一個參考組會改變哪些數字、不會改變哪些。

這個模型在解決什麼問題

臨床研究裡有一大類問題長這樣：結果是一個連續的數字（出生體重、收縮壓、eGFR、住院天數），而你想知道某個因素跟它的關係有多大——而且是在扣掉其他因素之後還剩下多大。

t 檢定與變異數分析可以比較兩組或多組的平均值，但只能一次比一個分組變項，而且分組變項必須是類別的。線性迴歸把這件事推廣成：同時放進多個變項，連續的與類別的都行，對每一個給出一個係數，而那個係數的意思是「其他變項固定時，這個變項每增加一單位，結果平均變動多少」。

那句話是本頁的主軸。它聽起來很直觀，實際上藏了三個陷阱，第四節專門處理。

這一頁的例子

MASS::birthwt 是 1986 年美國麻州 Springfield 一家醫院的低出生體重研究， 189 位產婦，記錄了年齡、末次月經時的體重、族裔、懷孕期間是否抽菸、高血壓病史、子宮易激性等等，結果變項是新生兒體重（公克）。全站的迴歸章節都用它，一來它是世界通用的教材資料，二來它是本站禁用 Pima 糖尿病資料後指定的替代品。

新生兒體重平均 2,945 g（標準差 729 g），其中 74 位產婦懷孕期間抽菸。

library(MASS)
data(birthwt, package = "MASS")

bw <- birthwt
bw$race_f  <- factor(bw$race,  levels = 1:3, labels = c("White", "Black", "Other"))
bw$smoke_f <- factor(bw$smoke, levels = 0:1, labels = c("No", "Yes"))

# 一個變項
fit_s <- lm(bwt ~ lwt, data = bw)
summary(fit_s)

# 多變項
fit <- lm(bwt ~ age + lwt + smoke_f + race_f + ht + ui, data = bw)
summary(fit)          # 係數、標準誤、t、p、R²、調整後 R²、整體 F
confint(fit)          # 95% 信賴區間，論文要報的是這個不是只有 p

# 換一個參考組：係數會變，模型不會
bw$race_o <- relevel(bw$race_f, ref = "Other")
fit_o <- lm(bwt ~ age + lwt + smoke_f + race_o + ht + ui, data = bw)
all.equal(fitted(fit), fitted(fit_o))     # TRUE

# 線性是假設，要檢查
anova(fit, update(fit, . ~ . + I(age^2)))

驗證環境：R 4.6.0 + MASS 7.3.65。birthwt 隨 MASS 一起裝，不需另外下載。

import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf

bw = sm.datasets.get_rdataset("birthwt", "MASS").data
bw["race_f"]  = bw["race"].map({1: "White", 2: "Black", 3: "Other"})
bw["smoke_f"] = bw["smoke"].map({0: "No", 1: "Yes"})

fit = smf.ols("bwt ~ age + lwt + C(smoke_f) + C(race_f) + ht + ui", data=bw).fit()
print(fit.summary())
print(fit.conf_int())

# 參考組用 Treatment(reference=...) 指定
fit_o = smf.ols(
    'bwt ~ age + lwt + C(smoke_f) + C(race_f, Treatment(reference="Other")) + ht + ui',
    data=bw).fit()

# 線性檢查
fit_q = smf.ols("bwt ~ age + I(age**2) + lwt + C(smoke_f) + C(race_f) + ht + ui",
                data=bw).fit()
print(fit.compare_f_test(fit_q))

statsmodels 的 OLS 報表欄位與 R 幾乎一一對應；formula API 讓公式寫法也一樣。

先看一個變項

最小平方法（ordinary least squares, OLS）在做的事只有一件：找一條直線，讓所有點到線的垂直距離平方和最小。

\hat{y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x, \qquad (\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1) = \arg\min \sum_{i=1}^{n} (y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i)^2

用產婦體重（lwt，磅）預測新生兒體重：斜率是 4.43 g/lb （95% CI 1.05–7.81，p 0.011）。換成每 10 磅比較好想像：44.3 g。 連續變項的係數沒有單位就無法解讀，這一點和 Cox 模型的 HR 完全一樣。

左圖是新生兒體重對產婦體重的散布圖與最小平方迴歸線，右圖是新生兒體重對產婦年齡的散布圖，畫了直線與加入二次項後的曲線兩條擬合線，曲線在兩端往上翹。 — 左：一個變項的最小平方擬合，陰影是迴歸線的 95% 信賴帶。右：同一份資料換成年齡，直線與二次曲線畫在一起——第六節會說明為什麼曲線那條在統計上被支持，以及為什麼那個支持很脆弱。產圖腳本 `figures/scripts/B2-01-linear-regression.R`

這條線的 R² 只有 0.034：產婦體重解釋掉的變異不到二十分之一。 這不代表這個關聯是假的——係數的信賴區間沒有跨過 0，關聯本身有統計證據；它代表的是新生兒體重的變異絕大部分來自別的地方。第五節會回到這件事。

係數的解讀，以及「其他變項固定時」

放進六個變項之後的完整報表（n = 189）：

變項	係數 (g)	95% CI	p
Age, per year	-4.7	-23.1–13.8	0.617
Mother's weight, per lb	4.4	1.0–7.8	0.011
Smoking during pregnancy	-360.7	-566.0–-155.4	< 0.001
Race: Black vs White	-490.6	-785.0–-196.3	0.001
Race: Other vs White	-356.6	-581.3–-132.0	0.002
History of hypertension	-590.0	-985.2–-194.8	0.004
Uterine irritability	-528.5	-795.1–-262.0	< 0.001

抽菸那一列讀作：「在同年齡、同體重、同族裔、同高血壓病史、同子宮易激性的條件下，懷孕期間抽菸的產婦，新生兒體重平均少 361 g。」

不校正任何東西直接比較兩組平均，抽菸組平均少 284 g （95% CI 少 72.8–494.8 g）。校正之後差距變大了——這是常見的方向，因為族裔與體重在這份資料裡與抽菸相關，粗比較把它們的效果混在裡面互相抵消了一部分。

「其他變項固定時」的三個陷阱

只固定了模型裡有的變項。 沒放進去的東西一律沒有被固定。這句話從來不是「排除了所有干擾」，而是「排除了我列出來的這幾個」。要放哪些變項是因果圖（DAG）的問題，不是 p 值的問題。
它是統計上的條件，不是可執行的介入。 「固定體重不變、把族裔換掉」在現實裡不存在對應的操作。係數是資料裡的條件對比，把它讀成「如果我讓這位病人戒菸，她的孩子會重 361 g」是從關聯跳到因果，需要的是設計上的理由，不是模型給的。
校正的變項換了，係數就換了。 兩篇論文報不同的係數，可能只是模型裡放的東西不同。看係數一定要連著看那個模型放了什麼——這與 Cox 模型的 HR 是同一件事。

還有一個常被忽略的：不要把中介因子（mediator）放進去。 如果抽菸是透過壓低胎盤血流影響體重，把胎盤血流校正進去，等於把想估的效果扣掉一部分。

R² 與調整後 R²

R² 是「模型解釋掉的變異占總變異的比例」：

R^2 = 1 - \frac{\sum (y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum (y_i - \bar{y})^2}

多變項模型的 R² 是 0.241，調整後 R² 是 0.212。兩者的差別是：

R² 只要加變項就不會下降，加什麼都一樣，加擲骰子產生的亂數也一樣。
調整後 R² 對參數個數罰款： $1 - (1-R^2)\frac{n-1}{n-p-1}$ 。加進去的變項如果沒帶來足夠的解釋力，它會下降。

把 200 次重複實驗畫出來就很清楚——每一步往模型裡加一個純粹的標準常態亂數：

折線圖，橫軸是加入的純亂數變項個數 0 到 20，紅線是 R 平方持續上升，藍線是調整後 R 平方大致持平並略微下降。 — 每一個點是 200 次亂數抽取的平均。加進去的變項與新生兒體重完全無關，R² 仍從 0.241 一路爬到 0.325；調整後 R² 從 0.212 到 0.212，沒有被騙。產圖腳本 `figures/scripts/B2-01-linear-regression.R`

R² 高不等於模型有用，R² 低也不等於模型沒用。 兩個方向的誤讀都很常見：

高 R² 可能只是把結果自己放進去了。 用「出院時的血紅素」預測「住院期間的血紅素最低值」， R² 會很漂亮，但那不是預測，是同一件事量了兩次。臨床預測模型裡這叫資料洩漏（data leakage）。
低 R² 不否定關聯。 這一頁的模型只解釋了 24.1% 的變異，但抽菸、高血壓、子宮易激性三個係數的信賴區間都沒跨過 0。「這個因素有影響」與「這個模型能預測個別病人」是兩個問題，R² 回答的是後者。這與 Cox 模型裡 p 值很小但 C-index 只有中等是同一種現象。
不同結果變項的 R² 不能互比。 它的分母是那個結果自己的變異。

整體 F 檢定（8.23，df = 7 與 181，p < 0.001）問的是「所有係數同時為 0 嗎」，相當於 Cox 模型的整體 likelihood ratio test。

線性是假設，不是預設成立的事實

「每增加一單位，結果平均變動固定的量」——這句話本身就是一個假設，而且是最容易不成立的那個。它可以被檢定：把二次項加進模型，看有沒有改善。

變項	線性項的 p	加入平方項後 F	平方項的 p	結論
年齡	0.617	5.68	0.018	直線版本不足以描述
產婦體重	0.011	0.11	0.741	未偵測到偏離線性

年齡這一列是本頁最值得記住的一件事。線性的年齡項離顯著很遠（p 0.617），但加入年齡平方項之後，模型有統計上可偵測的改善（p 0.018）。

如果只看第一欄就下結論「年齡與新生兒體重無關」，那是把「直線這個版本的關係沒有得到支持」讀成了「沒有關係」。這兩件事不一樣。

但這個曲線的支持很脆弱，而誠實地說出來比留下漂亮結論重要。

擬合出來的拋物線開口向上，最低點落在年齡 26.0 歲附近（這個頂點來自放了六個變項的多變項模型；本頁上方那張圖畫的是只放年齡的單變項版本，頂點比它更靠左），也就是說模型認為年紀最小與最大的產婦，新生兒體重都比較高。這在臨床上並不合理。

原因在資料的分布：這份資料的年齡範圍是 14–45 歲，而超過 35 歲的只有 3 位。多項式沒有局部性—— 右端這三個人會把整條曲線扳彎。把她們拿掉重跑，平方項的 p 變成 0.373，偏離線性的證據就消失了。

實務上的建議因此是兩層：要檢查線性（不要預設成立），但檢查的工具用限制性立方樣條（restricted cubic spline）而不是多項式——樣條的彎曲是分段的，稀疏區段的少數幾個點不會扳動整條曲線。樣條實際怎麼配、knot 放在哪、曲線與它的信賴帶怎麼讀，見非線性與限制性立方樣條。影響點怎麼量、為什麼三個人可以主導一個 189 人的模型，見迴歸模型診斷。

換參考組：係數會變，模型不會

類別變項進入模型的方式是虛擬變數（dummy variable）： $k$ 個類別產生 $k-1$ 個欄位，被留下來當基準的那一類叫參考組（reference group）。R 預設拿因子的第一個 level。

同一個模型，只把族裔的參考組從 White 換成 Other：

參考組	對比	係數 (g)	95% CI	p
White	Black vs White	-490.6	-785.0–-196.3	0.001
White	Other vs White	-356.6	-581.3–-132.0	0.002
Other	White vs Other	356.6	132.0–581.3	0.002
Other	Black vs Other	-134.0	-446.9–178.8	0.399

四列裡真正換掉的不是「有多少證據」，而是你報得出哪些對比：White 對 Other 在兩種寫法裡只是正負號相反，信賴區間互為鏡像，p 值一模一樣（0.002 對 0.002）；差別在於 Black 對 Other 這一列（p 0.399）只有第二種寫法直接報得出來，第一種寫法的表上根本沒有它。而且：

R²：0.241 對 0.241
殘差標準差：647.27 對 647.27
每一位產婦的預測值：完全相同

是同一個模型。 換參考組只是換了一組座標來描述同一個平面，就像把溫度從攝氏改成華氏—— 數字全變，冷熱沒變。

而且模型裡「沒有出現」的對比仍然存在於模型中：Black 對 White 在第一種寫法裡直接估出來，是 -490.6 g；在第二種寫法裡要靠相減拿到，結果是 -490.6 g。一模一樣。

實務上怎麼選參考組：

先看臨床上能不能解釋——安慰劑、標準治療、未暴露當參考組，係數的方向才符合讀者的直覺。這是第一順位。
其次才看組的大小：拿人數多的那一組當參考，通常會讓「各小組對參考組」的那幾個直接對比估得比較精確。但要注意這不是「換參考組就能讓某個對比的標準誤變小」——同一個對比換寫法只換正負號，標準誤與 p 值不動（上表的 White 對 Other 就是例子）；換掉的是表上出現的是哪幾個對比。
不要為了讓 p 值好看而換參考組。 換參考組不會改變模型，但會改變你報出來的是哪幾個對比；試了幾種才挑一種報，等於做了未申報的多重比較。要比較所有類別就用整體 F 檢定（type III），或報所有兩兩對比並校正。

常見誤用

誤用	為什麼錯
用線性迴歸跑二元結果	預測值會跑出 0–1 之外；改用邏輯迴歸
用線性迴歸跑計數或發生率	變異數隨平均值增大、預測值可能為負；改用Poisson 或負二項
用線性迴歸跑有設限的存活時間	設限資料不是缺失值也不是事件時間，見 Censoring
報連續變項的係數卻不寫單位	每一歲、每十歲、每個標準差的係數完全不同
把「其他變項固定時」當成「排除了所有干擾」	只固定了模型裡有的變項
把係數讀成「介入之後會發生的事」	那是因果宣稱，要有設計上的理由
把中介因子當共變項校正掉	會把想估的效果扣掉一部分
用 R² 判斷模型「對不對」	R² 衡量的是解釋掉多少變異，不是模型設定是否正確
比較不同結果變項的模型 R²	分母不同，不可比
加變項後 R² 上升就認為模型變好	R² 加什麼都會上升；至少要看調整後 R²，更好的是外部驗證
線性項不顯著就宣稱該變項無關	沒有得到支持的是直線這個版本，不是關係本身
用高次多項式處理非線性	兩端稀疏處會亂翹；改用限制性立方樣條
試了幾個參考組挑最好看的報	未申報的多重比較
未達顯著寫成「兩者沒有差異」	應寫「未偵測到差異」，並附上信賴區間說明不確定的範圍

重跑本頁的所有數字

/opt/homebrew/bin/Rscript figures/scripts/B2-01-linear-regression.R

讀讀看這張圖

答案取自產生本頁圖表的同一份統計輸出，不是另外打上去的。

多變項模型的係數表裡，「懷孕期間抽菸」那一列的係數該怎麼讀？

看答案與解析

正確答案: -360.7 公克——抽菸者相對於不抽菸者，出生體重平均低這麼多

抽菸在這個模型裡是二元變項，所以它的係數 -360.7 是「相對於參考組」的差，不是「每多一單位」的斜率。而 -490.6 其實是族群那一列，4.4 是母親體重每增加一磅的斜率——同一張表裡有些列是每單位、有些是相對於參考組，把後者讀成前者會得到「每多抽一單位就少幾百公克」這種沒有意義的句子。讀任何一個係數之前，先確認那一列的變項是連續的還是類別的。

在原本的多變項模型上再加進一批純粹隨機產生的變項。哪一個說法對？

看答案與解析

正確答案: R 平方升到 0.325——它只會隨變項變多而上升，所以不能用來比較變項數不同的模型

R 平方從 0.241 升到 0.325，而加進去的變項是純粹的隨機數。這不是巧合而是它的數學性質：多一個變項，殘差平方和只會變小或不變，所以 R 平方只會上升。0.212 是加完之後的調整後 R 平方，它反而略降——調整後 R 平方對多出來的參數收費，這正是它存在的理由，也是為什麼比較不同大小的模型時該看它而不是 R 平方。

多變項模型底下印著一個整體 F 檢定。它回答的是什麼問題？

看答案與解析

正確答案: 分子自由度 7——問這些變項合起來有沒有解釋力

分子自由度等於模型裡的變項個數，這裡是 7，而 F 檢定問的正是「這 7 項合起來有沒有解釋力」。181 是分母自由度，189 是樣本數；三個數字上下相鄰，意思毫不相干。這個檢定不回答任何單一變項是否顯著——一個 F 檢定顯著而每一項的 p 值都不顯著的模型完全可能存在，那通常是共線性的樣子。

用到這個方法的章節

延伸觀看

ENStatQuest with Josh Starmer· 9 min最小平方法在做什麼，九分鐘看完再讀本頁第三節，「殘差平方和最小」就不再是口號。

繁中EDMAN MURMURS· 13 min繁中、臨床醫師視角，係數與 R² 的中文說法在這裡有對照。

繁中臺大開放式課程 NTU OCW· 22 min繁中，把簡單線性迴歸的假設一條一條列出來，正好對應本頁第六節在檢查的東西。

繁中NYCU OCW· 143 min兩小時的完整推導，想把公式補齊再回來的話看這支；只想讀懂論文的話不必。

素材來源與授權

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