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Kaplan-Meier 曲線與 log-rank 檢定

為什麼存活分析不能直接算平均存活時間、KM 曲線的每一階在算什麼、log-rank 回答與不回答哪些問題，以及那條中位數線該怎麼讀。

這個方法在解決什麼問題

追蹤一群病人，想知道「多久會發生某個事件」。麻煩在於研究結束時，總有人還沒發生事件——他們可能還活著、可能搬走失聯、可能中途退出。這些人的資料不是沒有價值：一個追蹤了 400 天還沒發生事件的人，明確告訴你「他至少撐過了 400 天」。

把這種「只知道下界」的觀察叫做設限（censoring，更精確說是右設限 right-censoring）。存活分析的整套工具，本質上都是在回答同一個問題：怎麼在不丟掉設限資料的前提下估計事件發生的時間分布。

兩種常見的錯誤處理方式，都會系統性地偏掉：

把設限的人當作沒發生事件、直接算比例 → 低估風險（他們可能在你沒看到的時候發生了）
把設限的人整個刪掉 → 通常高估風險（留下來的都是已經發生事件的人）

KM 估計在算什麼

Kaplan-Meier 估計把整段時間切在每一個事件發生的時點上，在每個時點問一個很小的問題：在這一刻還在追蹤的人裡面，有多少比例撐過了這一刻？

\hat{S}(t) = \prod_{t_i \le t} \left(1 - \frac{d_i}{n_i}\right)

其中 $d_i$ 是時點 $t_i$ 發生事件的人數、 $n_i$ 是該時點仍在風險集合（at risk）裡的人數。整條曲線就是這些條件存活機率連乘起來。

這解釋了曲線的兩個外觀特徵：

它是階梯狀的，只在有事件發生時往下掉一階，設限不會讓曲線下降。
越往右越不可靠，因為 $n_i$ 越來越小，每一階的跌幅由越來越少的人決定。曲線尾端劇烈的落差常常只是剩下三五個人造成的。

動手跑一次

library(survival)
data(cancer, package = "survival")   # lung 放在 cancer 這包資料裡

lung$sex_f <- factor(lung$sex, levels = c(1, 2),
                     labels = c("Male", "Female"))

# status: 1 = censored, 2 = dead
fit <- survfit(Surv(time, status) ~ sex_f, data = lung)

summary(fit)$table          # 各組人數、事件數、中位存活與其信賴區間
survdiff(Surv(time, status) ~ sex_f, data = lung)   # log-rank

plot(fit, col = c("#4d6a8c", "#c44d4d"), lwd = 2,
     conf.int = TRUE, mark.time = TRUE,
     xlab = "Days since enrolment", ylab = "Survival probability")

驗證環境：R 4.6.0 + survival 3.8.6

from lifelines import KaplanMeierFitter
from lifelines.statistics import logrank_test
import statsmodels.api as sm

lung = sm.datasets.get_rdataset("cancer", "survival").data
lung["event"] = (lung["status"] == 2).astype(int)   # 2 = dead

male = lung[lung["sex"] == 1]
female = lung[lung["sex"] == 2]

kmf = KaplanMeierFitter()
ax = None
for df, label in [(male, "Male"), (female, "Female")]:
    kmf.fit(df["time"], df["event"], label=label)
    ax = kmf.plot_survival_function(ax=ax, ci_show=True)
    print(label, "median:", kmf.median_survival_time_)

result = logrank_test(male["time"], female["time"],
                      male["event"], female["event"])
print("log-rank p =", result.p_value)

lifelines 的 KaplanMeierFitter 用的是同一個估計式，數值與 R 一致。

NCCTG 肺癌試驗依性別分組的 Kaplan-Meier 存活曲線，附 95% 信賴區間與設限標記，女性曲線在最初十天以外幾乎全程高於男性；曲線下方附風險人數表，男女各一列，兩列的人數都隨時間遞減，右端只剩極少數人。 — survival::lung 依性別分組的 KM 曲線。每組同色系的虛線是該組的 95% 信賴區間，曲線上的 + 記號是設限。水平點線標出 0.5，也就是讀中位存活的位置。曲線下方的風險人數表顯示各時點仍在風險集合中的人數；越往右人數越少，曲線越不穩定。產圖腳本 `figures/scripts/B3-02-kaplan-meier.R`

資料是 NCCTG 的晚期肺癌試驗，共 228 人，其中 165 人發生事件、63 人設限。

組別	n	事件數	中位存活（天）	95% CI
Male	138	112	270	212–310
Female	90	53	426	348–550

中位存活怎麼讀

中位存活時間是曲線第一次降到 0.5 的那個時間點——不是所有人存活時間的平均，也不是把設限的人硬塞進去算出來的中位數。上圖那條水平虛線畫的就是這個位置。

兩個常見誤解：

「中位存活 270 天」不代表這群人大約活 270 天。 分布通常嚴重右偏，平均會遠大於中位數。
曲線降不到 0.5 時，中位存活「無法估計」（NR, not reached），不是無限大。 這在追蹤期短或預後好的族群很常見。看到 NR 只能說「超過追蹤期」。

log-rank 檢定回答與不回答什麼

log-rank 檢定比較兩條整條曲線，虛無假設是兩組的存活函數完全相同。這個例子的結果是 $\chi^2$ = 10.33（df = 1），p = 0.0013。

它不回答的問題，比它回答的更值得記住：

問題	log-rank 給不了
差多少？	它只給 p 值，沒有效果量。要效果量請用 Cox 模型的 HR，或直接比較特定時點的存活率
哪一組比較好？	檢定本身不帶方向，方向要看曲線
差異在什麼時候出現？	它把整段時間加總成一個統計量

還有一個更根本的限制：log-rank 在兩條曲線交叉時檢定力很差。 它的設計對「整段時間裡風險比固定」的情境最敏感；如果一組前期較差、後期反超（免疫治療試驗常見的形狀），前後段的差異會互相抵消，p 值可能大得離譜，即使兩條曲線明顯不同。

常見誤用

誤用	為什麼錯
用 1 − KM 估計累積發生率，而該事件有競爭風險	競爭事件會讓 1 − KM 高估累積發生率，應改用累積發生函數（CIF）
KM 圖不附風險人數表	讀者無法判斷曲線尾端是根據幾個人畫的
把 log-rank 的 p 值當作效果量的證據	它沒有效果量；p 值大小與差異大小是兩回事
曲線交叉還是報單一 HR	比例風險假設已經不成立，那個 HR 沒有清楚的解釋
中位存活寫成「平均活多久」	存活時間分布右偏，兩者差距可能很大
依基線後才知道的變項分組畫 KM	例如依「有沒有對治療反應」分組，會製造 immortal time bias
p > 0.05 就說「兩組存活沒有差異」	只能說本研究未偵測到差異；尤其 log-rank 在曲線交叉時檢定力本來就低

重跑本頁的所有數字

/opt/homebrew/bin/Rscript figures/scripts/B3-02-kaplan-meier.R

讀讀看這張圖

答案取自產生本頁圖表的同一份統計輸出，不是另外打上去的。

KM 圖底下那一列風險人數（number at risk），女性組在第 400 天寫著一個數字。哪一個說法對？

看答案與解析

正確答案: 那一格是 26，算的是女性組還沒發生事件、也還沒被設限的人

風險人數是「到這個時間點為止還沒發生事件、也還沒被設限」的人數，下一段曲線就是由這 26 人撐起來的。53 是女性組整段追蹤的事件數——那是累積發生了什麼，不是還剩下誰；31 是同一時間點男性組的風險人數，不是兩組合計。曲線右端看起來平穩時先讀這一列：只剩兩三個人的區段，一個事件就會讓曲線掉一大階，而那一階不代表風險真的變高了。

有人數了 KM 曲線上往下的階梯，想用階梯數回推觀察到幾個事件。這個做法有什麼問題？

看答案與解析

正確答案: 會少算，因為同一個時間點發生的多個事件會併成一階，實際事件數是 165

曲線只在事件發生時往下掉，而同一天發生的兩個事件只會畫出一階——所以數階梯得到的是「有事件的時間點個數」，不是事件數，兩者只有在沒有任何同時間事件時才相等。228 是收案人數，把它當成事件數是把「收了幾個人」讀成「觀察到幾件事」；63 是被設限的人，他們在圖上是小豎線而不是階梯，所以不會被多算。

報表把男性組的中位存活、它的信賴區間下界，以及女性組的中位數並排印在一起。男性組的中位存活是哪一個，為什麼？

看答案與解析

正確答案: 270 天——曲線第一次跌破存活機率一半的那個時間

中位存活的定義是曲線第一次掉到一半以下的時間，男性組是 270 天。212 是同一個中位數的 95% 信賴區間下界：它描述的是這個估計有多不確定，把它當成點估計不是「比較保守」，而是報了一個不同的量；426 是女性組的中位數，讀錯了列。報表把這三個數字並排印出來，所以讀錯欄或讀錯列都會得到一個看起來完全合理的答案。

用到這個方法的章節

延伸觀看

ENnumiqo· 10 min十分鐘把 KM 的計算過程一步步畫出來，看完再回來讀本頁的公式會輕鬆很多。

繁中EDMAN MURMURS· 11 min繁中，專為醫師設計，講的是「看到這張圖要讀什麼」而不是怎麼算。

繁中腫瘤科吳教恩醫師· 9 min拿一篇真的腫瘤試驗當例子走一遍，適合在讀完本頁之後看。

ENzedstatistics· 14 mincensoring 是整個存活分析的地基，這支把它跟 truncation 的差別講清楚。

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