分布圖：為什麼不要用長條圖加誤差線

這一頁在解決什麼問題

論文與投影片上最常見的連續變項畫法是這樣的：每組一根長條，長條高度是平均數，頂上長出一根短短的誤差線。 這種圖有個綽號叫 dynamite plot（炸藥棒圖），因為它長得像插著引線的炸藥。

它的問題不是不好看，是每組只畫了兩個數字：一個柱高、一根鬍鬚長度。 你手上原本有幾十幾百個觀測值，畫完之後讀者拿到兩個摘要量，而且看不出來這兩個數字是從幾個人身上算來的。

本頁把同一份資料畫成四種圖，然後具體算出前一種畫法藏掉了什麼。 資料是 MASS::birthwt：189 位產婦，結果變項是新生兒出生體重（公克）， 分組變項與 t 檢定與變異數分析那一頁的 ANOVA 例子完全相同， 所以兩頁講的是同一份資料的同一組分層。

同一份資料，四種畫法

四種畫法看得到與看不到的東西：

注意 A 那一格的縱軸：長條圖的柱長要能被比較，起點就必須是 0， 於是整段資料被擠在圖的上緣。另外三種圖不受這個限制，縱軸可以貼著資料走，所以同樣的紙面上解析度高得多。

dynamite 在這份資料上藏了什麼

前一節的表格是原則。原則說服不了人，所以這一節把數字算出來。

一、三組的人數差了好幾倍，而長條圖上完全看不到

最大組與最小組的人數比是 3.69，而三組的 SD 幾乎一樣 （最大與最小只差 1.14 倍）。可是三根 SE 誤差線的長度差了 1.69 倍。原因是 SE 等於 SD 除以 n 的平方根，所以誤差線的長度主要在講樣本數，不在講離散程度。

這件事在這份資料上有一個極乾淨的例子：黑人組的 SD 是三組裡最小的 （638.7 g），可是它的 SE 誤差線是三組裡最長的（125.3 g）， 因為那一組只有 26 個人。

二、平均數差得看起來很多，個別的嬰兒重疊得很厲害

第一列是最有代表性的：白人組與 黑人組的平均數差 383 公克， 在長條圖上是肉眼可見的兩根不同高度的柱子。但如果從兩組各隨機抽一個嬰兒， 白人組那個比較重的機率只有 0.654——比丟硬幣好一些，遠不到「兩組不一樣」的程度。 而且有 30.2% 的 白人組嬰兒的體重，落在 黑人組的四分位距裡面。

「隨機各抽一人，前者較重的機率」這個量（機率優越性，probability of superiority）之所以好用， 是因為它跟原始單位無關，而且每個讀者都懂 0.5 是什麼意思。它不是檢定，也不取代 ANOVA 與事後比較那一頁在做的推論—— 它回答的是另一個問題：這個組間差距，放到一個病人身上，有多大。

三、形狀：這份資料其實相當乾淨，說實話比較有用

教科書講到這裡通常會說「而且長條圖藏住了偏態、雙峰與離群值」。在這份資料上，這句話大部分不成立， 照實報出來比硬套原則有用：

三組的偏度絕對值最大只有 0.42，屬於接近對稱； 全部 189 個嬰兒裡，被 1.5 IQR 規則標成離群值的只有 2 個。 至於雙峰：在 density() 的預設頻寬下，最多的一組有 3 個局部極大值， 看起來像有第二個群；但把頻寬放寬一半之後，三組全部只剩 1 個。 多出來的那幾個峰是平滑參數的產物，不是次族群的證據。

所以在這份資料上，dynamite plot 的傷害來自人數差距與重疊，不是來自被藏起來的偏態或雙峰。 形狀真的不同時會發生什麼，第五節用刻意構造的資料補上。

三種誤差線，外觀一樣，長度差好幾倍

上面一直說「那根誤差線」，因為在圖上根本看不出它是什麼。同一組資料可以畫出三種誤差線：

• SD（標準差） 描述的是個體之間有多分散。它不隨樣本數縮小——多收一百個人，SD 大致不變。
• SE（標準誤） 描述的是平均數這個估計有多精確。它等於 SD 除以 n 的平方根，所以人越多它越短。
• 95% CI 是 SE 乘上一個 t 分位數，大約兩倍的 SE。它回答的是「平均數合理落在哪個範圍」。

在 白人組，SD 的棒子是 SE 棒子的 9.8 倍長。 換句話說，同一份資料、同一個平均數，作者選 SE 或選 SD，讀者看到的圖差了將近一個數量級。 而 SE 是三者中最短的，所以選 SE 會讓組間看起來最分開——這也是它最常被選的原因之一。

還有一個相關的誤讀：誤差線有沒有重疊，不能當成檢定的替代品。 兩組的 95% CI 稍微重疊時， 兩組平均數差的檢定仍然可能達到統計顯著；反過來，兩組的 SE 棒子沒有重疊，也不代表達到顯著。 要判斷組間差距，看的是差距本身的信賴區間，不是兩個各自的區間有沒有碰到。 這一點在 t 檢定與變異數分析那一頁講得更完整。

同一張長條圖，三份完全不同的資料

前面第三節已經照實說了：birthwt 的三組分布相當對稱、離群值很少。 那形狀真的不同的時候會怎樣？下面三份資料是刻意構造的，不是任何研究的結果： 三份都是 40 個觀測值，平均數都是 3000，標準差都是 700， 所以 SE 都是 110.7，95% CI 半長都是 223.9。它們的長條圖是同一張圖畫三次。

前四欄一模一樣，後四欄完全不同。樣本二分成兩群，平均數落在兩群之間沒有人的地方—— 一個沒有任何觀測值靠近的位置，卻是柱子的高度。樣本三的偏度是 1.95， 4 個極端值把平均數從中位數 2831.8 拉到了 3000。

動手跑一次

library(MASS)
data(birthwt, package = "MASS")
bw <- birthwt
bw$race_f <- factor(bw$race, levels = 1:3, labels = c("White", "Black", "Other"))
sp <- split(bw$bwt, bw$race_f)

# 1. 長條圖加 SE。放在這裡是為了對照，不是建議。
m  <- sapply(sp, mean)
se <- sapply(sp, function(x) sd(x) / sqrt(length(x)))
mids <- barplot(m, ylim = c(0, 3600), ylab = "Birth weight (g)")
arrows(mids, m, mids, m + se, angle = 90, code = 2, length = 0.05)

# 2. 盒鬚圖。一行。
boxplot(bwt ~ race_f, data = bw, ylab = "Birth weight (g)")

# 3. 小提琴圖：density() + polygon()，不需要額外套件。
violin <- function(x, at, width = 0.35, col = "#dfe6ee") {
  d <- density(x, adjust = 1.2)
  k <- d$x >= min(x) & d$x <= max(x)      # 不要畫到資料範圍以外
  dy <- d$y[k] / max(d$y) * width
  polygon(c(at + dy, rev(at - dy)), c(d$x[k], rev(d$x[k])), col = col)
}
plot(NA, xlim = c(0.5, 3.5), ylim = range(bw$bwt), xaxt = "n",
     xlab = "", ylab = "Birth weight (g)")
axis(1, at = 1:3, labels = levels(bw$race_f))
for (i in 1:3) violin(sp[[i]], i)

# 4. raincloud：半個小提琴 + 窄箱 + 每一個觀測值。
plot(NA, xlim = c(0.5, 3.5), ylim = range(bw$bwt), xaxt = "n",
     xlab = "", ylab = "Birth weight (g)")
axis(1, at = 1:3, labels = levels(bw$race_f))
set.seed(1)                               # 固定 seed，否則每次重畫點位都不同
for (i in 1:3) {
  x <- sp[[i]]
  d <- density(x, adjust = 1.2)
  k <- d$x >= min(x) & d$x <= max(x)
  dy <- d$y[k] / max(d$y) * 0.34
  polygon(c(rep(i, sum(k)), rev(i + dy)), c(d$x[k], rev(d$x[k])),
          col = "#dfe6ee", border = "#4d6a8c")
  boxplot(x, at = i - 0.02, add = TRUE, boxwex = 0.09,
          axes = FALSE, outline = FALSE)
  points(jitter(rep(i - 0.22, length(x)), amount = 0.09), x,
         pch = 16, cex = 0.6, col = adjustcolor("#4d6a8c", 0.4))
  text(i - 0.22, min(bw$bwt), paste0("n = ", length(x)), cex = 0.8)
}

import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
import statsmodels.api as sm

bw = sm.datasets.get_rdataset("birthwt", "MASS").data
bw["race_f"] = bw["race"].map({1: "White", 2: "Black", 3: "Other"})

# 盒鬚圖與小提琴圖各一行
sns.boxplot(data=bw, x="race_f", y="bwt")
sns.violinplot(data=bw, x="race_f", y="bwt", inner=None, cut=0)

# raincloud 要自己疊三層：半個小提琴、窄箱、抖動點
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 4))
sns.violinplot(data=bw, x="race_f", y="bwt", inner=None, cut=0,
               split=True, hue=1, legend=False, ax=ax)
sns.boxplot(data=bw, x="race_f", y="bwt", width=0.08, showfliers=False,
            boxprops={"zorder": 3}, ax=ax)
sns.stripplot(data=bw, x="race_f", y="bwt", size=3, alpha=0.45,
              jitter=0.18, dodge=False, ax=ax)
ax.set_ylabel("Birth weight (g)")

# 各組樣本數要自己標，seaborn 不會加
for i, (lab, grp) in enumerate(bw.groupby("race_f", sort=False)):
    ax.text(i, bw["bwt"].min(), f"n = {len(grp)}", ha="center", fontsize=8)

期刊已經開始要求畫出個別資料點

這件事不是風格偏好，已經進了投稿規範。

Weissgerber 等人在 PLOS Biology（2015）調查了頂尖生理學期刊的論文，發現絕大多數連續變項都畫成長條圖加誤差線， 而且相當多的樣本數小到那兩個摘要量幾乎沒有意義。他們的核心論點就是本頁第五節那張圖： 同一張長條圖對應到很多份長相完全不同的資料。

之後的變化：

• PLOS Biology 的投稿規範建議連續資料要用讓讀者能評估分布的畫法（散點、盒鬚、直方）， 並且規定樣本數小的資料（每組 9 個以下的獨立觀測值）必須畫出完整分布，不能只畫摘要量。
• eLife 要求圖說寫明樣本數與誤差線的定義（連同統計方法與重複次數）， 也就是把上一節那個「圖說沒寫就不能解讀」的問題直接寫進規範。
• 越來越多期刊在圖表規範裡不鼓勵用長條圖表達連續變項。

實務上的判準很簡單：

• 每組不到二十個觀測值 → 直接把每一個點畫出來（點圖或 raincloud），不要摘要。
• 每組數十到數百 → 盒鬚圖或小提琴圖，能疊上抽樣後的點更好。
• 每組上千 → 點會糊成一片，用小提琴圖或直方圖，並且把樣本數寫在圖上。
• 任何情況 → 圖說要寫明誤差線是什麼、樣本數是多少。

那長條圖什麼時候是對的

長條圖不是壞圖，是被用錯了地方。它的本業是計數與比例：類別變項各層有幾個人、幾成， 柱長從 0 起算而且真的代表「有多少」。這種時候柱長是可加的、可比的，長條圖是正確的選擇—— 細節見 卡方檢定與比例的比較。

至於連續變項，即使你只想報摘要量，也還有兩個選擇比長條圖好：

• 報平均數與其信賴區間的點區間圖（不畫柱子）。柱子本身沒有帶任何資訊，卻佔掉整個縱軸空間。
• 偏態變項改報中位數與四分位距。 該報平均數還是中位數，判準在 Table 1 與標準化平均差那一頁「平均數還是中位數」那一節。

常見誤用

重跑本頁的所有數字

/opt/homebrew/bin/Rscript figures/scripts/B1-05-distribution-plots.R

回報這一頁的問題