E-value 與未測量干擾的敏感度分析

這一頁在解決什麼問題

你會撞到 E-value 的時機通常有兩個。

第一個是讀論文。一篇資料庫研究報了某個關聯，Discussion 最後一段寫著「we calculated an E-value of 1.9」，然後就沒有下文了。這個數字是大是小？它到底在保證什麼？不知道的話， 那句話就只是一個看起來很專業的裝飾。

第二個是被審。台灣的健保資料庫（NHIRD）論文投出去，最高頻的 reviewer comment 之一就是 「請補未測量干擾的敏感度分析」。這時候要的東西幾乎一定是 E-value——因為它便宜： 不需要額外資料、不需要驗證子樣本、三行程式就算得出來。

E-value 之所以存在，是因為觀察性研究有一個永遠關不掉的漏洞。 傾向分數配對與加權都只能處理 你有測量到的共變項；DAG 幫你想清楚該擋哪些後門路徑， 但擋不住一條你根本沒有變項可以擋的路。這件事不能靠更好的模型解決，只能誠實地量化。

E-value 的做法是把問題倒過來問：與其問「有沒有未測量干擾」，不如問「要多強的未測量干擾， 才足以把我看到的這個關聯整個解釋掉」。 前者無法回答，後者是一個算得出來的數字。

定義：偏誤因子與 E-value

假設有一個沒被測量到的干擾因子 $U$。它有兩個關聯強度：

• $RR_{EU}$：暴露組與非暴露組之間，$U$ 的盛行率比值（干擾因子與暴露的關聯）
• $RR_{UD}$：在暴露固定的情況下，$U$ 對結果的相對風險（干擾因子與結果的關聯）

VanderWeele 與 Ding 證明了一件很漂亮的事：這兩個關聯能把觀察到的相對風險誇大的上限， 是一個只跟它們有關的閉合式，叫做偏誤因子（bias factor）：

觀察到的相對風險 $RR_{obs}$ 被完全解釋掉，意思就是 $B \geq RR_{obs}$。把「兩個關聯一樣強」 這個條件代進去解，就得到 E-value：

$RR_{obs}$ 小於 1（保護性關聯）時先取倒數再代入。這就是全部的數學了—— 所以這一頁不安裝任何套件，公式本身比套件的說明文件短。

等高線的幾何，比公式更值得記

把 $B = RR_{obs}$ 這條式子解出 $RR_{UD}$：

這是一條雙曲線，它有兩條漸近線：一條垂直的在 $RR_{EU} = RR_{obs}$， 一條水平的在 $RR_{UD} = RR_{obs}$。這兩條漸近線講的是同一件事，而且是整個方法最該記住的一句：

要解釋掉一個觀察到的關聯，那個未測量干擾因子與暴露的關聯、與結果的關聯， 兩者都必須大於觀察到的關聯本身。 只有其中一邊強是不夠的—— 不管另一邊拉到多大，曲線都只會無限逼近那條漸近線而永遠碰不到。

E-value 只是這條曲線上的一個特定點：兩個關聯相等的那一點，也就是曲線與對角線的交點。 選這一點不是因為它有什麼特殊的因果意義，而是因為它是曲線上「最省力」的組合—— 沿著曲線往任何一邊走，另一邊都得付出更多。所以 E-value 是一個下限： 任何能解釋掉這個關聯的干擾因子，至少有一邊要達到這個強度。

兩個 E-value，兩個不同的問題

點估計的 E-value 與信賴區間的 E-value 是兩個數字，兩個都要報。 它們問的不是同一件事：

• 點估計的 E-value 問：要多強的干擾，才能把效應量推回虛無值？
• 信賴區間那一端的 E-value 問：要多強的干擾，才能讓這個結果變得無法排除虛無值？

第二個才是「這個結果能不能被干擾推翻」的答案。理由跟 效應量那一頁講的是同一件事：一個點估計本身不承載不確定性， 要推翻一個結論，你不需要把點估計推到 1，只需要把區間推到碰得到 1。

算法：取信賴區間靠近虛無值那一端的界限，代進同一條公式。 區間本來就跨過虛無值時，答案是 1——不需要任何干擾，這批資料本來就與「沒有效果」相容。

只報點估計 E-value 是論文裡很常見的做法，而它一律讓結果看起來比實際更難推翻。 下面兩個例子分別示範這兩種情況。

第一步永遠是把效應量換成 RR

E-value 的公式吃的是相對風險。HR、OR 都不是 RR，直接丟進去會得到錯的答案， 而且錯的方向是固定的：偏大，也就是讓結果看起來更難被解釋掉。這是最常被跳過的一步。

風險比（hazard ratio, HR）有兩條路，選哪一條看結果罕不罕見。 結果罕見時，

直接用就好。結果不罕見時，要用 VanderWeele 的平方根式：

慣用的分界是事件比例 15%。 本頁例二的 blood_storage 有 47 件事件、287 個完整個案， 事件比例 16.4%，高於那條線，所以平方根式才是對的那一條。

勝算比（OR）是第三條公式，而且它需要一個 HR 那條路不需要的東西：

$p_0$ 是未暴露組的基線風險。$p_0 \to 0$ 時 RR 趨近 OR，這就是罕見結果近似； 而 OR 大於 1 時，任何 $p_0 > 0$ 都會讓 RR 小於 OR。這個性質等一下在例一會變成一個關鍵的判斷。

例一：一個 case-control 的勝算比，兩個 E-value 差很多

例一沿用病例對照研究那一章的 datasets::infert：1 case : 2 controls, matched on age, parity and education，248 筆， 其中案例 83、對照 165。 暴露是人工流產史，結果是續發性不孕。該頁的條件邏輯迴歸（再校正自然流產次數）給出

為什麼這裡只能用罕見結果近似

要把這個 OR 換成 RR，公式需要基線風險 $p_0$。而病例對照研究給不出這個數字—— 這件事本身就是這一頁的一個教學點。

樣本裡案例佔 33.5%，這個數字看起來很像一個風險， 但它是設計選出來的：案例對對照的比例是研究者訂的（這裡是 1 比 2）， 換一個抽樣比例它就換一個值。拿它當 $p_0$ 等於把設計參數當成母體風險，是憑空捏造資料。 stats 檔把這件事寫成兩個旗標——baselineRiskEstimable 是 false， caseProportionIsNotP0 是 true， 就是為了讓後來重跑的人不會把那個比例撿起來用。

所以這裡採罕見結果近似，也就是 RR = OR。 選它不是因為方便，而是因為它最寬鬆：前面說過 OR 大於 1 時任何 $p_0 > 0$ 都讓 RR 更小， 而 RR 更小 E-value 就更小。用 $p_0 = 0$ 的極限，等於給出這批資料最大可辯護的 E-value。 如果連這個最大值都不足以說服人，換任何 $p_0$ 都只會更糟。

要看這個假設值多少錢，把幾個假設性的 $p_0$ 代進去就知道：

兩個 E-value

罕見結果近似之下 RR 等於 OR，於是

• 點估計 4.150 的 E-value 是 7.77
• 區間下界 1.779 的 E-value 是 2.96

兩個都遠大於 1，而且彼此差很多。這正是為什麼兩個都要報： 要把點估計推回虛無值，需要一個與暴露、與結果的關聯都達到 7.77 的未測量干擾因子， 那是很強的東西；但要讓這個結果變得無法排除虛無值，只需要 2.96—— 不到一半。只報前面那個數字，讀者會對這個結果的穩固程度得到過度樂觀的印象。

這張圖是 E-value 唯一真正說得清楚的呈現方式，因為它把「一個數字」還原成「一整條曲線」。 沿著紅線往右走，$RR_{EU}$ 越大所需要的 $RR_{UD}$ 就越小，但永遠掉不到 4.150 以下——那條水平漸近線就是觀察到的 RR 本身。 往上走同理。所以讀者要判斷的其實不是「7.77 算不算大」， 而是「在這個臨床脈絡裡，有沒有哪一個沒被測量的變項，能在這條曲線上找得到位置」。

例二：同一份資料的每一個估計，區間 E-value 全部落在最低值

例二沿用 傾向分數配對與 IPTW 那兩頁的同一個世代（medicaldata::blood_storage，287 個完整個案、 47 件生化復發），把兩頁一共 7 個估計全部拿來算一次 E-value。 效應量是 HR，事件比例 16.4% 不算罕見，所以走平方根式。

最後一欄整欄都是 1.00。

這張圖把兩個例子放在同一條曲線上，於是「大或小」變成看得到的位置關係。 它也順便解釋了 E-value 的一個性質：曲線在虛無值附近很陡。 觀察到的 RR 從 1 動一點點，E-value 就已經明顯大於 1—— 所以一個看起來「大於 1 蠻多」的 E-value，對應的觀察關聯其實可能很弱。 3.41 這個 E-value 對應的觀察 RR 只有 2； E-value 要到 5.45，觀察 RR 才是 3。

跳過轉換會膨脹 E-value，而且是量化得出來的

把 HR 直接當成 RR 丟進公式，會得到什麼：

差距的方向是固定的：跳過轉換一律讓 E-value 變大，也就是讓結果看起來更難被推翻。 在這個例子裡幅度不大，因為 HR 本來就離 1 不遠；HR 離虛無值越遠、結果越常見，這個誤差越大。

審稿或讀論文時可以直接問的一句話是：「這個 E-value 是從什麼效應量算的， 中間有沒有換成 RR？」 論文只報 HR 與一個 E-value、Methods 完全沒提轉換的， 多半就是跳過了。

怎麼算

# --- E-value 本體 -----------------------------------------------------------
evalue_rr <- function(rr) {
  r <- if (rr < 1) 1 / rr else rr          # 保護性關聯先取倒數
  r + sqrt(r * (r - 1))
}

# 信賴區間裡「靠近虛無值」的那一端。區間跨過 1 時答案就是 1：
# 不需要任何干擾，資料本來就與虛無值相容。
evalue_ci <- function(lo, hi) {
  if (lo <= 1 && hi >= 1) return(1)
  if (lo > 1) evalue_rr(lo) else evalue_rr(hi)
}

# --- 先把效應量換成 RR ------------------------------------------------------
hr_to_rr_rare   <- function(hr) hr                                    # 結果罕見
hr_to_rr_common <- function(hr) (1 - 0.5^sqrt(hr)) / (1 - 0.5^sqrt(1 / hr))
or_to_rr        <- function(or, p0) or / (1 - p0 + p0 * or)           # p0 = 未暴露組基線風險

# --- 等高線：解釋掉 rr 所需要的 (RR_EU, RR_UD) 組合 -------------------------
bias_factor <- function(x, y) x * y / (x + y - 1)
contour_y   <- function(x, rr) rr * (x - 1) / (x - rr)   # 漸近線在 x = rr 與 y = rr

# --- 套用在 IPTW 的 ATE 上 --------------------------------------------------
# 這三個數字沿用 B6-03 的輸出（本頁 stats 檔的 primary.hr / hrLcl / hrUcl），
# 直接打在這裡是為了讓這段能單獨跑；頁面上顯示的值由建置時插入，
# 所以 B6-03 一重跑，你在這裡看到的數字會跟著換。
hr <- 1.070253; lo <- 0.589014; hi <- 1.944676

rr <- hr_to_rr_common(hr)                  # 事件比例 > 0.15，走平方根式
c(point = evalue_rr(rr),
  ci    = evalue_ci(hr_to_rr_common(lo), hr_to_rr_common(hi)))

import math


def evalue_rr(rr: float) -> float:
    r = 1 / rr if rr < 1 else rr           # 保護性關聯先取倒數
    return r + math.sqrt(r * (r - 1))


def evalue_ci(lo: float, hi: float) -> float:
    if lo <= 1 <= hi:                      # 區間跨過虛無值
        return 1.0
    return evalue_rr(lo) if lo > 1 else evalue_rr(hi)


def hr_to_rr_common(hr: float) -> float:
    return (1 - 0.5 ** math.sqrt(hr)) / (1 - 0.5 ** math.sqrt(1 / hr))


def or_to_rr(odds_ratio: float, p0: float) -> float:
    return odds_ratio / (1 - p0 + p0 * odds_ratio)


# 與上面 R 版本相同的三個數字（本頁 stats 檔的 primary.hr / hrLcl / hrUcl）。
hr, lo, hi = 1.070253, 0.589014, 1.944676
rr = hr_to_rr_common(hr)
print(evalue_rr(rr), evalue_ci(hr_to_rr_common(lo), hr_to_rr_common(hi)))

怎麼判斷一個報出來的 E-value 是大是小

論文裡那句「we calculated an E-value of 1.9」要能被評價，讀者得問四個問題：

1. 它是從哪個效應量算的，有沒有換成 RR？ 沒交代就當它沒換，數字要往下打折。
2. 點估計與區間各報了沒？ 只報一個，而且那個是點估計，就是把結論說得比資料硬。
3. 拿什麼當比較基準？ E-value 本身沒有大小的刻度。有意義的做法是拿這個研究已經測量到的 共變項當尺——如果模型裡最強的那個已知風險因子，關聯強度都還沒到 E-value， 那麼要相信有一個沒被測到的東西比它更強，就需要理由。反過來， 一個 E-value 低於好幾個已知共變項強度的研究，等於自己承認很脆弱。
4. 這個關聯本來就多強？ E-value 是 RR 的函數，不是額外的證據。 看到 3.41，觀察 RR 就是 2；看到 5.45，觀察 RR 是 3。 E-value 沒有給出任何 RR 以外的資訊，它只是換一個尺度把同一件事說得比較好懂。

第 4 點值得多說一句：既然 E-value 是 RR 的單調函數，那它在數學上不含新資訊。 它的價值全部在溝通——它把「殘餘干擾」這個抽象的擔憂，翻譯成一個可以跟臨床知識對照的數字。 把它當成新證據來用，就是誤用。

常見誤用

這一頁與其他頁的關係

• 它在補的洞——傾向分數配對與 IPTW 都只處理有測量到的共變項，E-value 量化的是它們處理不到的那一塊。 例二的估計就是直接取自這兩頁。
• 哪些後門路徑該擋——DAG 與後門準則。 DAG 幫你辨識出「有一條路我沒有變項可以擋」，E-value 把那條路的代價算出來。
• 另一條路是換設計——工具變數與 自我對照設計不靠測量干擾因子， 而是靠設計把它排除掉。E-value 是留在原設計裡誠實標價，兩者是互補的。
• 目標試驗模擬——目標試驗模擬。 找不到合理主動對照時，適應症干擾跑不掉，那一頁指過來的就是這一頁。
• 量化偏誤分析的其他部分——測量誤差與錯分、 選擇偏誤。E-value 只管未測量干擾，這兩種偏誤要另外量化。
• 例一的來源——病例對照研究那一章的條件邏輯迴歸， 背後的模型在條件邏輯迴歸。
• 例二的臨床脈絡——世代研究與 資料庫研究。後者是 E-value 最常被要求補上的場景。

重跑本頁的所有數字

這支腳本依賴 B6-02、B6-03 與 D2 的 stats 檔， 所以那三支要先跑（字母順序本來就會做到這件事）：

/opt/homebrew/bin/Rscript figures/scripts/B6-02-psm.R
/opt/homebrew/bin/Rscript figures/scripts/B6-03-iptw.R
/opt/homebrew/bin/Rscript figures/scripts/D2-case-control-infert.R
/opt/homebrew/bin/Rscript figures/scripts/B6-07-e-value.R

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